Все эти понятия переносятся и на случай любого числа измерений: ориентированный n-мерный симплекс — это симплекс, взятый с нек-рым определённым порядком его вершин, причём порядки, переходящие друг в друга при посредстве чётной перестановки, по определению дают одну и ту же ориентацию симплекса. Линейные формы вида £г = = ЗМ$»ГД0 Ц. СУТЬ ориентированные г-мерные симплексы данной триангуляции, называются цепями. Граница ориентированного симплекса tr=(e0... er) есть по определению п (г — 1) — мерная цепь^С — !) где есть i=i J
1 ориентированный симплекс (eo---ej-iej+i---er); граница любой цепи определяется по ф-ле Джг = S«'i Определения цикла, гомологии и чисел Бетти — те же, что и выше.
Для r-мерной сферы все числа Бетти равны 0, кроме п-мерногои нольмерного, равных 1 (нольмерное число Бетти всякого связного полиэдра равно 1). Для всякого п-мерного замкнутого ориентируемого многообразия п — мерное число Бетти равно 1, и всегда р-мерное число Бетти, 0<р<п, равно (п — р) — мерному (закон двойственности Пуанкаре). Напр., для трёхмерного тора (см. § 5) одно — и двумерное числа Бетти равны 3, для многообразия 2И| (определённого в том же § 5) однои двумерное числа Бетти равны 1.
Более глубокое проникновение в топологич. свойства полиэдра, чем числа Бетти, дают так наз. группы Бетти.
10. Непрерывные отображения. Т. изучает не только топологич. пространства, но и их непрерывные отображения. Но если среди всех топологич. пространств полиэдры, и в частности многообразия, наиболее богаты конкретными геометрич. свойствами, то то же ещё в гораздо большей степени относится к их непрерывным отображениям: за пределами полиэдров мы знаем о непрерывных отображениях лишь немногие общие теоремы и отдельные, правда, часто очень интересные, примеры. Зато теория непрерывных отображений полиэдров и в особенности многообразий принадлежит к числу наиболее разработанных отделов Т. Среди большого числа имеющихся здесь результатов отметим только несколько теорем о неподвижных точках отображений (в частности, в виду важности этих теорем для анализа). Неподвижной точкой отображения f множества X в себя называется всякая точка §, удовлетворяющая условию /«)=<. Оказывается, при всяком непрерывном отображении п-мерного шара я? +••• -ИК^2 в себя имеется, по крайней мере, одна неподвижная точка. Всякое непрерывное отображение сферы ж? +... + +^;1=а2 чётного числа измерений п или имеет неподвижную точку, или имеет точку, отображающуюся на свою диаметральнопротивоположную точку.
11. Развитие топологии. Топология в СССР.
Т. — молодая наука: мы видели, что широкое и систематич. развитие её, по крайней мере в части её комбинаторно-геометрич. методов, начинается в последние годы минувшего 19 в. с работ А. Пуанкаре (см.). Теоретикомножественное направление в Т. (приведшее к теории размерности и к общей теории то 548 пологич. пространств) старше работ Пуанкаре лишь на несколько лет (80-е годы 19 в?) и ведёт, своё начало от Г. Кантора (см.). К 80-м же годам относится и первое, данное К. Жорданом (Jordan), доказательство его теоремы (впрочем, не вполне строгое).
В начале 19 в. теоретико-множественная Т. получает в работах А. Шенфлиса (Schoenflies) дальнейшее развитие. Бурный период расцвета Т. начинается с работ Л. Э. Брауэра (см.) (относящихся гл. обр. к 1911—13), в к-рых доказывается ряд труднейших теорем (инвариантность числа измерений, n-мерная теорема Жордана, ряд теорем о неподвижных точках непрерывных отображений, теория зацеплений и др.) и вырабатываются основные методы современной Т. полиэдров. По своему значению для развития Т. работы Брауэра должны быть поставлены непосредственно после работ Пуанкаре. Далее идёт блестящий период в развитии Т., в к-ром первое место занимают американские учёные [Дж. Александер (Alexander), С. Лефшец (Lefschetz), ещё ранее О. Веблен (Veblen)].
Александер в 1916 доказывает инвариантность чисел и групп Бетти, а в 1923 — свой закон двойственности, к к-рому примыкает длинный ряд разнообразных и важных работ вплоть до настоящего момента. Лефшец в 1926 публикует свой классич. мемуар о приложениях теории пересечений к непрерывным отображениям.
Теоретико-множественная Т. ещё в 1906 обогащается понятием топологич. и метрич. пространства М. Фреше (Freehet), получающим новое развитие в книге Ф. Хаусдорфа (Rausdorff) «Теория множеств» (1914). Этой книгой кладётся основание для многочисленных дальнейших исследований, в к-рых советским учёным (П. С. Александров, П. С. Урысон, А. Н. Тихонов, Л. А. Тумаркин и др.) принадлежит едва ли не первое место. Топологич. работы советских учёных открываются в 1921—22 теорией размерности Урысона и работами Урысона и Александрова по теории топологич. пространств. Определение размерности, полученное ещё Брауэром и развитое Урысоном в теорию большого общего значения, было предметом параллельно и независимо развивавшихся исследований К.
Менгера (Menger, Австрия). С 1925 начинаются исследования Г. Гопфа (Hopf), гл. обр. по теории непрерывных отображений полиэдров и многообразий, и работы Александрова по Т. компактов, в к-рых на компакты были перенесены комбинаторные методы, чем было основано новое направление топологич. исследования, приведшее, в частности, к построению новой, «гомологической» теории размерности (1930—32). С 1927 начинаются исследования Л. С. Понтрягина (см.), давшего глубоко идущее обобщение закона двойственности Александера. Круг вопросов, связанных с законами двойственности, получил существенное расширение и завершение в работе П. С. Александрова о гомологии, свойствах расположения комплексов и замкнутых множеств (1942). В связи с работами по законам двойственности Понтрягин строит теорию характеров топологич. групп; затем следует цикл исследований Понтрягина по теории топологич. групп, в к-рых решается до конца ряд фундаментальных пр обл ем, и вся
