топологияразбитый на 18 тр-ков (рис. 2). Если склеить так что а0 — а1 + о2 = 1. сторону АВ со стороной CD так, чтобы при этом склеивании точка А совпала с С, точка Для плоского кольца и поверхности Мёбиуса: В с точкой D, то получится поверхность, а0 = 12, ах = 30, а2 = 18, гомеоморфная плоскому круговому кольцу, а0 ~ «2 = 0. или, что с топологической точки зрения то же самое, — поверхности цилиндра (имеется Для тора и поверхности Клейна: в виду т. н. «боковая а0 = 9, ах = 27, а2 = 18, поверхность» цилиндра ао~ а1 + а2=0. в смысле элементарной геометрии). Если скле
Числа а0, а2, конечно, меняются при ить сторону АВ со сто
переходе от одной триангуляции данной 'пороной CD и сторону АС верхности к другой триангуляции той же со стороной BD, то по
поверхности; налучится тор. Каждая пример, спроекиз этих поверхностей тировав на сфеоказывается разбитой ру (из её центна те же 18 тр-ков, вообще говоря, криво ра) вписанный линейных. Что же касается вершин и рёбер, в эту сферу те — Q В Й то их число, сравнительно с числом этих траэдр, получим я В элементов на первоначально данной триангу
триангуляцию рис 5 ляции прямоугольника, уменьшилось (т. к. сферы, для копри склеивании нек-рые пары рёбер перешли торой а0 =4, ах=6, а2=4; спроектировав же на в одно ребро, нек-рые вершины склеились эту сферу вписанный в неё икосаэдр, полупо две, а нек-рые даже по четыре). Склеим чим триангуляцию, для к-рой а0=12, а1=30, теперь сторону АС прямоугольника со сто
а2 =20. Но число а0 — а1 + «з Для всех триангуроной DB так, чтобы точка А склеилась не ляций данной поверхности (и всех гомеоморфс точкой С (как раньше), а с ных с ней поверхностей) одно и то же: для точкой D, точка В склеилась с 1 всех триангуляций сферы и всех поверхноточкой С. Полученная поверхстей, гомеоморфных сфере, оно равно 2; для ность (рис. 3) называется повсех триангуляций плоского кольца, листа Мёбиуса, тора и поверхности Клейна оно верхностью или листом Мёбиуравно 0. Число а0 — а1-^-а2 называется эйлеса. Поверхность Мёбиуса предРис< 3> ровой характеристикой этой поверхности. ставляет собою первый и самый простой пример т. н. односторонней поверх
Оно выражает одно из важнейших топологии, ности (см.); у неё нет двух раздельных сто
свойств поверхности.
2. Ориентируемость поверхностей. Основрон — взяв на поверхности Мёбиуса небольшой кружок и находясь на одной стороне этого ная теорема Т. пов ерхнос тей. Накружка, мы, двигаясь непрерывно вдоль сред
ряду с эйлеровой характеристикой другим ней линии MN поверхности и нигде не пере
важнейшим свойством поверхностей является ходя через её границу, в конце-концов придём их свойство быть двусторонними или одностона другую сторону того же кружка. Поверх
ронними . Однако в первоначальной своей форность Мёбиуса обладает и другими интересны
мулировке свойство двусторонности или одноми свойствами: она ограничена не двумя зам
сторонности выражает нек-рое отношение покнутыми линиями (как плоское верхности к окружающему её пространству. кольцо или цилиндр), а только од
В действительности же свойство поверхности располагаться в пространстной: Аа a2B=Ca6a5D=A (рис. 2); ве ДП двусторонним если сделать на этой поверхности . хх, .
У XW у L/l UpUXlJtiniVl или одноразрез вдоль её средней линии / сторонним образом[ является рого внутренMN, то поверхность не распадётО л / следствием нек-рогс него (т. е. независящего от ся на части, а превратится в гоокружающего пространства) меоморфную плоскому кольцу, но Рис. 6. свойства самой поверхности, дважды перекрученную ленту, вдвое более узкую и вдвое более известного под названием ориентируемости длинную, чем первоначальный (соотв. неориентируемости).
Треугольник, снабжённый определённым прямоугольник. Поверхность Мёбиуса не гомеоморфна плоскому кольцуй, вообще, не го — направлением обхода его вершин, называется меоморфна никакой плоской фигуре. (Первое ориентированным, а самое это направление утверждение следует, напр., из того, что у обхода — его ориентацией. Треугольник с верплоского кольца две граничные кривые, а у шинами А, В, С имеет две ориентации: АВС поверхности Мёбиуса — только одна). Склеим теперь сторону АВ нашего прямоугольника и ВАС. Первая ориентация порождает на со стороной CD, а сторону АС со стороной сторонах тр-ка направления АВ, ВС, С А, DB (Ac Dh В с С). Это склеивание не удаётся реализовать в обычном трёхмерном простран
вторая — направления ВА, СВ, АС. Два тр-ка, стве: получающаяся поверхность (она назы прилежащие друг к другу общей стороной вается поверхностью Клейна, рис. 4) замк
и расположенные по разные стороны от этой нута и непременно пересекает самоё себя. общей стороны, называются одинаково ориен• Подсчитаем числа а0, а2, т. е. число тированными, если данные их ориентации повершин, рёбер и граней на каждой из только рождают на общей стороне этих тр-ков прочто описанных триангуляций. Для изобра
тивоположные направления (рис. 6). Если жённой на рис. 2 триангуляции прямоуголь
взять какую-нибудь триангуляцию сферы ника ABCD получаем: а0=16, =33, а2 =18, или тора и ориентировать все тр-ки этой
