ров не зависело от пути переноса, заключается в обращении в ноль тензора кривизны Ям*Риманово пространство. Хп, в к-ром введено измерение дуг кривых с помощью произвольной квадратичной дифференциальной формы
dp, Det |
| Ф 0,
(31)
называется Римановым пространством Vn.
Поле тензора а^у определяет в каждом локальном Еп тензор, с помощью к-рого мы вводим метрику в этом Так. обр., для Vn локальные пространства суть R„. Связность в V* однозначно определяется двумя требованиями: 1) отображения локальных должны быть изометрическими, 2) кручение связности должно быть равно нолю, т. е.
8’^ = 0. Из первого условия следует, что метрич. тензоры различных локальных Rn должны соответствовать друг другу, что эквивалентно тождественному обращению в ноль абсолютного дифференциала от $т0 последнее, очевидно, равносильно обращению в ноль ковариантной производной
=
аЛа=0.
(32)
Из второго условия следует, что Г?“ = Гу^.
(33)
Отсюда можно определить Г^,:
!»{£}
(З4)
где выражения г»
.
l<9az«, даРл
даРг'\
/окч
называются символами Кри^тоффеля второго и первого рода соответственно. Если Тензор равен нолю, то отображение локальных Rn не зависит от пути, и такое можно рассматривать само как В этом случае можно ввести систему координат, в к-рой все J?^y<o = 0, и квадратичная форма (31) приводится к форме с постоянными коэфф-тами.
Приложение Т. и. к классической механике.
Тензорное исчисление в n-мерном Римановом пространстве, не говоря уже о его значении для релятивистской механики, имеет существенное приложение к классич. механике.
Движение голономной механич. системы с п степенями свободы, с обобщёнными координатами 5а» может быть интерпретировано как движение точки в n-мерном пространстве, называемом пространством конфигураций.
Если связи системы не завися-/* от времени, то её живая сила Т являема квадратичной формой обобщённых скоростей, и в пространстве конфигураций можно ввести Риманову метрику, положив ds2 = 2Tdi2 = a^d^dfy.
(36)
Уравнения движения Лагранжа могут быть представлены тогда в тензорной форме d? тга dVa — о. — Tt = V’-dF=F>
(37)где 7“ — вектор скорости точки в пространстве конфигураций, а Fa — вектор силы. Если движение системы происходит при отсутствии внешних сил, то траекторией точки в пространстве конфигураций будет геодезиче-. спая линия (см.). Для общего случая консер-’ вативного поля сил с потенциалом V часто вводят метрику в пространстве конфигураций несколько другим способом: dst = (E-V) apyd^d^, (38) где Е — полная энергия системы. Тогда, как это следует из принципа наименьшего действия, движению системы будет опять соответствовать движение точки по геодезич. линии пространства конфигураций с новой метрикой (38).
Распространение рассмотренных интерпретаций на случай негслономных связей привело к возникновению нового геометрии, понятия — неголоиомного многообразия и соответствующего направления в многомерной дифференциальной геометрии — неголономной геометрии. Аналогично, случай реономной механич. системы привёл к другому обобщению Римановой геометрии, т. н. реономной геометрии. Многомерная интерпретация классической механики системы имеет то принципиальное значение, что таким образом уничтожается различие между механикой точки и механикой системы, и вся механика сводится к механике точки в многомерном пространстве. Кроме того, геометрии, интерпретация оказывается очень удобной при рассмотрении некоторых частных вопросов механики, например, вопроса об устойчивости движения консервативной системы, к-рый сводится к изучению поведения соседних геодезических в пространстве конфигураций.
Лит.: КочинН. Е., Векторное исчисление и на чала тензорного, исчисления, 6 изд., Л. — М., 1938; Френкель Я. И., Курс теоретической механики на основе векторного и тензорного анализа, Л. — М., 1940; Ла галл и М., Векторное исчисление, пер. с нем., М. — Л., 1936; Широков П. А., Тензорный анализ, ч. 1, Л. — М., 1934 (на переплете загл.: Тензорное исчисление); Рашевский П. К., Введение в риманову геометрию и тензорный анализ, М. — Л., 1936; Схоутен И. А. иСтройк Д. Д., Введение в новые методы диференциальной геометрии, т. I, М. — Л.» 1939; Schouten J. A., Der Ricci-Kalkiil, В., 1924; Schouten L A. und Strutk D. J., Elnftthrung In die neueren Methoden der Differentialgeometrie, Groningen, 1924; Eisenhart L. P., Riemannian geometry, N. Y., 1926; его же, Non-Rlemannlan geometry, N. Y., 1927; Thomas T. Y., The differential invariants of generalized spaces, N. Y., 1934. в. Вагнер.
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ,
сление.
см. Тензорное исчи ТЕНИЗ, тюркское название морей и озёр, то же, что денгиз (см.).
ТЕНИРС (Teniers), Давид, Младший (1610—90), известный фламандский живописец. Ученик отца, ДавидаТ. Старшего.
До 1651 работал в Антверпене, где с 1644 возглавлял цех живописцев, затем переехал в Брюссель и основал там в 1663 академию живописи. Насчитывается около 2.000 картин Тенирса. В ранний период (30-егг. 17 века) изображал светское общество и сцены йз крестьянского, быта, написанные в свободной живописной манере, в которой сказывается влияние Броувера. В 40 — х гг. Т. достиг полной творческой зрелости и выработал собственный стиль, свободный от все-
