ложений П. г. следует, что все предложения, логически выведенные из этих шести основных, будут обладать тем же свойством симметрии.
Для каждой теоремы будет, т. о., существовать теорема ей взаимная или двойственная.
Например, теореме «две прямые, лежащие в одной плоскости, имеют общую точку» соответствует ей взаимная: «две прямые, имеющие общую точку, лежат в одной плоскости».
Принцип двойственности устанавливает связь не только между предложениями П. г., но и между геометрии, формами разных видов.
Так, напр., если взять какой-либо треугольник АВС на плоскости, то его можно рассматривать как совокупность трех точек А, В и С (вершин) и трех прямых АВ, ВС и АС (стороны), попарно соединяющих эти точки, причем все эти точки и прямые лежат в одной плоскости. Этой фигуре соответствует двойственная: совокупность трех плоскостей и трех прямых, по к-рым эти плоскости попарно пересекаются, причем все эти плоскости и прямые проходят через одну точку. Прямолинейному ряду точек, т. е. совокупности всех точек прямой линии, соответствует совокупность всех плоскостей, проходящих через одну прямую, т. е. пучок плоскостей. Пучку прямых, т. е. совокупности всех прямых, проходящих через одну точку и лежащих в одной плоскости, соответствует совокупность всех прямых, лежащих в одной плоскости и проходящих через одну точку, т. е. тоже пучок прямых.
Плоскому полю, т. е. совокупности всех точек и прямых, лежащих в одной плоскости, соответствует совокупность всех плоскостей и прямых, проходящих через одну точку, т. е. связка плоскостей и прямых.
Образы разных ступеней. Прямолинейный ряд точек, пучок прямых и пучок плоскостей носят название основных образов первой ступени; плоское поле и связка называются основными образами второй ступени. В образах второй ступени имеет место свой принцип двойственности (малый принцип двойственности), по к-рому в плоском поле взаимными элементами являются точка и прямая, а в связке — прямая и плоскость.
Построение П. г. может вестись двояко: или аналитически с помощью проективных или трилинейных координат (см.) или синтетически на’ базе указанных выше основных предложений П. г. При втором способе к указанным выше основным предложениям необходимо присоединить еще аксиомы порядка и непрерывности.
Эти аксиомы могут быть взяты в следующей форме: Аксиомы порядка. 1) Каждые две точки прямой линии разделяют все точки этой прямой на два класса так, что каждая точка прямой принадлежит к одному из этих классов. 2) Если на прямой даны две точки А и В, то существует по крайней мере одна пара точек С и D, принадлежащих к разным классам, определяемым на прямой точками А и В. Пара точек С и D, принадлежащих к разным классам, определяемым точками А и В, называется парой, разделяющей пару А, В. 3) Если пара А, В разделяет пару С, D, то и пара С, D разделяет пару А, В.
А) Четыре точки прямой линии можно единственным способом разбить на две разделяющие одна другую пары.
5) При любом проектировании разделяющие пары точек переходят в разделяющие пары.
Чтобы сформулировать аксиому непрерывности, рассмотрим один из классов точек, на к-рые разделяются точки прямой парой А, В. Говорят, что все точки такого класса образуют отрезок с началом в точке А и концом в точке В. Будем считать, что точка С нашего отрезка предшествует точке D, если A, D разделяет С, В. Тогда аксиома непрерывности Дедекинда выразится так: если все точки какого-либо отрезка АВ разделены на два класса так, что каждая точка отрезка АВ принадлежит к одному из этих классов, причем точка А принадлежит к первому классу, точка В — ко второму и каждая точка первого класса предшествует' каждой сточке второго класса, то существует определенная точкаотрезка АВ, к-рая служит или последней точкой первого класса или первой точкой второго класса.
Для аксиом порядка и непрерывности, как можно показать, имеют место предложения двойственные (по принципу двойственности).
Отсюда следует, что принцип двойственности имеет место для всех предложений П. г. Этот принцип является, следовательно, общим принципом П. г.
Главным методом образования и исследования свойств геометрия. фо$м в П. г. является метод проективных соответствий (см. Проективное преобразование). Так, если установлено проективное соответствие между двумя пучками лучей, лежащими в одной плоскости, то геометрия, место точек пересечения соответственных лучей этих пучков есть нек-рая кривая 2 — го порядка, определяемая этими пучками. По малому принципу двойственности та же кривая может быть получена как огибающая семейство прямых, соединяющих соответственные точки двух проективных прямолинейных рядов, лежащих в одной плоскости. Геометрическое место прямых пересечения двух проективных пучков плоскостей есть линейчатая поверхность 2 — го порядка (в частности конус, если оси пучков пересекаются). Та же поверхность может быть образована прямыми, соединяющими соответственные точки двух проективных прямолинейных рядов, не лежащих в одной плоскости. Геометрическое место точек пересечения пересекающихся соответственных прямых двух коллинеарны! связок есть пространственная кривая 3 — го порядка. Если даны две коррелятивные связки, то геометрия место точек пересечения прямых первой связки с соответствующими им плоскостями второй связки есть поверхность 2 — го порядка.
Важнейшими теоремами П. г., выделяющимися среди других большим принципиальным значением, являются: теорема Дезарга о гомологических треугольниках и теорема Паскаля о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение. Изучение проективных свойств фигур было начато еще в 17 в. Важные предложения проективного характера были доказаны Паскалем, Дезаргом и Ньютоном. Но систематическое изучение проективных свойств началось после работы Понселе («Трактат о проективных свойствах фигур»), написанной в 1812 в г. Саратове (в русском плену) и опубликованной в 1822 в Париже. Идеи Понселе были затем систематизированы и развиты швейцарским геометром Штейнером и немецким геометром Штаудтом. Их работами П. г. и была оформлена как отдельная область геометрии.
Лит.: Классическая — ₽ oncelet J. V., Trait6 des
proprtetes projectives des figures, Metz — P., 1822; Mobius A. F., Der baryzentrische Calcul, Lpz., 1827; Steiner J., Systematische Entwicklung der AbhSLngigkeit geometrischer Gestalten voneinander..., B., 1832; Staudt G. K., von, Geometric der Lage, Nurnberg, 1847; Ch as les M., Traitd de g6om6trie sup6rieure, P., 1852; учебники: Re ye T., Geometric der Lage. Abt. 1—2, 2 Aufl., Hannover,. 1877—80; Enriques F., Vorlesungen uber projektive Geometric, Lpz., 1903; Sturm F. O. R., Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften, Lpz. — B., 19 8—09; Godeaux L., Lemons de jg6ometrie projective, P., 1933; В a k e r H. F., Principles of geometry, v. I — III, 2 ed., Cambridge, 1929—34; Больберг О. А., Основные идеи проективной геометрии, 2 изд., Л. — М., 1935; ГиршвальдЛ. Я., Проективная геометрия, Харьков, 1935; Глаголев Н. А., Проективная геометрия, Москва — Ленинград, 1936. н, Глаголев.
ПРОЕКТИВНАЯ МЕТРИКА, способ введения метрических соотношений (т. е. измерения длин и углов) в проективную геометрию (см.), предложенный Кели в 1859.
При проективных преобразованиях длины отрезков и размеры углов могут меняться, однако остаются неизученными сложные отношения (см. Ангармоническое отношение) четверок точек на прямой и четверок прямых в пучке. Переход от проективной геометрии к метрической осуществляется при помощи закрепления некоторых геометрия, образов в качестве абсолюта, определяющего данную метрич. геометрию. Например, чтобы иол учить из плоской проективной геометрии плоскую Эвклидову, надо выбрать на проективной плоскости какую-либо действительную прямую За бесконечно-удаленную и какиелибо две сопряженные мнимые точки Р и Р' на этой Прямой за круговые точки (см.). Бесконечно-удаленная прямая с круговыми точками Р и Р' составляют абсо-
