ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ — ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯнению 1 — го порядка вида г/'=/(я, у), при заданных начальных условиях у=у0 при х=х0.
A. 1) Разложение решения в ряд. Обычно применяется ряд Тейлора
(х-®0) 2 +
У=Ул + ту (х-х0) +
+ ••• + и“, (ж-ж0)» + ..., где у^ есть значение n-й производной искомой функции при я=ж0, к-рое находится путем дифференцирования уравнения и последующей замены х на xQ к у на уй'. у'о = f (х0, у0) 9 у'о' = = fx (ж0, Уо) + fv&o) 2/о) и т. д. Можно также для определения коэффициентов 2/0(п) воспользоваться методом неопределенных коэффициентов (см. Неопределенных коэффициентов метод). Приведем пример: решить уравнение у' =х 4—1/, если начальные значения: ®о=О, 2/о=1. Имеем: у о = 1. Дифференцируя, получаем ?/"=14—2/', ?/о =2; у'" = ?/", у'0"=2 и т. д. Откуда 7/=1 + ж 4 — ж2 4 — у 4- .. • Иногда приходится употреблять разложение более общего вида со
®о) П*> где наряду с коэффициен — j/ = 2 fe=i
тами Ajc подлежат определению и показатели nk(k = l, 2,...). Применяется также разложение решения по степеням малого параметра, входящего в данное уравнение, или по степеням начальных значений. — 2) Метод последовательных приближенийПик а р а. Перепишем наше уравнение в Интеле
тральной форме у = yQ 4 — f f(n, у) dx. За перхо вое приближение решения принимается: X Уг = Ул + §f(x, y) dx. хо
Заменив в правой части уравнения у на у19 получим второе приближение: х
Уг = Уо + J t
Уг) dx — Хо
Вообще п 4—1 приближение получается из п-го по следующему закону: X Уп. г = Ул+ f f(x, УпУйх.
Хо
Пикар показал, что при выполнении известных условий точное решение у = lim уп. Решим П->оо
предыдущий пример этим методом. Имеем X
y1 = l+j‘(x + l) dx = l+x+^',
’
О х
У3=1 + J (ж +1 + X + ) dx = 1 + X + Ж2 + о
и т. д. Необходимость выполнять квадратуры составляет неудобство пользования этим методом.
B. 1) Метод Эйлера. Если хп = ж0 44 — nh (п = 1, 2, ...) и уп есть значение решения при х — хП9 то при h достаточно малом прибли 786
женно имеем 2/n+i = уп 4 — hf (хП9 уп), откуда последовательно определяются значения уп. Недостаток метода: систематическое накопление ошибок при h большом и громоздкость вычислений при h малом. 2) Метод Рунге. Используя разложение в ряд Тейлора, Рунге показал, что, какова бы ни была функция f (ж, у), величина yn+i — Уп =Кп с точностью до № может быть выражена так: К„ = ±ап+±0п + ±уп + ±8п,
где = Л/ (хп, у„),
= hf (ж„ + |, уп +
Vn = hf(xn + 4, уп +
,
,
8n = hf(xn-\-h, уп+ -/„).
Неудобство метода: громоздкость вычислений. 3) Метод Адамса. Состоит в применении формулы Уп*1 — Уп == ап 4 — у Aa^-i +
+ 7 Zl8a„_s +
J2a" — 2 +
Л4а„_4
[где ап = hf (хП9 уп) и Дап_19.. . — конечные разности первого и высших порядков], верной до членов 5 — го порядка относительно h9 которая позволяет найти yn+i, если известны уП9 уп_19 У п — 2> У п — 2) У п — 4 — Для начала процесса вычисления нужно знать, не считая у0, четыре значения: у19 у2, у3, у±, к-рые обычно определяются посредством ряда Тейлора или методом Рунге.
Метод Адамса является одним из лучших методов численного интегрирования и принят за основной в наших руководствах внешней балистики.
Все изложенные методы, без особых затруднений, переносятся и на случаи системы дифференциальных уравнений, а следовательно„ применимы и к уравнению n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.
Кроме того, имеются специальные методы для приближенного решения уравнений высших порядков, гл. обр. 2 — го, и их систем (метод Штормера, Коуэлла и др.). Разработан также» ряд методов для приближенного решения уравнений в частных производных (метод Ритца „ разностный метод и др.). Во многих случаях с успехом применяются графические и механические методы интегрирования уравнений (графич. метод Рунге, аппарат Кельвина для решения линейного уравнения 2 — го порядка, экспериментальные методы решения уравнений в частных производных и др.).
Лит.: Крылов А. Н., Приближенное численное
интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, Берлин, 1923; его же, Лекции о приближенных вычислениях, 3 изд., Л. — М., 1935; ГортВ., Дифференциальные уравнения, пер. с нем., Л. — М., 1933; Скарборо Дж., Численные методы математического анализа, пер. сангл., М. — Л., 1934; В етчинкин В. П., Методы приближенного и численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, вып. 1—3> М., 1932—35; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Методы приближенного решения уравнений в частных производных, Л. — М., 1936; Панов Д. Ю., Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных, М. — Л., 1938; Рунге К.„ Графические методы математических вычислений, пер. с 3 нем. изд., М. — Л-, 1932; Франк M. Л., Графически© методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, л, — м., 1933.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. Точны»
значения определяемых величин получаются обычно или в результате счета не слишком большого числа предметов, или в результате тео-
