теризуется совокупностью величин дар. Общая О. т. принимает, что функции дар и в общем случае, когда нельзя путем подходящего выбора системы отсчета сделать специальную О. т. применимой в конечной области, характеризую^* гравитационное поле. Поэтому функции дар называются компонентами гравитационного потенциала.
Совокупность функций дар характеризует не только гравитационное (или инерциальное) поле, но и свойства пространства-времени. В самом деле, функции дар, входящие в выражение интервала ds, выражают соотношение мер, масштабные соотношения пространственновременного континуума. В пространственно-временных областях, характеризуемых различными совокупностями дар, масштабные соотношения существенно различны.
Пространственно-временной континуум общей О. т.
В общей О. т. понятия о пространстве и времени подвергаются еще более глубокому изменению, чем в специальной О. т. Рассмотрим сначала область, свободную от поля тяготения. Введем в этой области инерциальную систему К и вращающуюся относительно нее вокруг общей оси 2 систему К'. Проведем в плоскости ху вокруг общего начала координат обеих систем окружность.
Отношение длины этой окружности к диаметру, измеренное в «неподвижной» инерциальной системе К, будет равно л. В системе К, следовательно, справедлива Евклидова геометрия. Если же длину этой же окружности и ее диаметр измерить в системе К', то в качестве отношения длины окружности к диаметру получится число большее л. Этот результат следует из Лоренцова сокращения масштабов, расположенных по длине движущейся окружности, и отсутствия сокращения у масштабов, расположенных по радиусу. Следовательно, по отношению к ускоренной системе К' Евклидова геометрия недействительна. Ибо недействительно лежащее в основе Евклидовой геометрии представление об идеальных твердых телах.
Точно так же легко убедиться, что часы, расположенные на окружности круга, наблюдаемые из системы К', идут медленнее, чем часы, расположенные в центре.
Получается, следовательно, что скорость хода часов зависит от места их расположения. Но. переход к ускоренной системе отсчета эквивалентен появлению поля тяготения. Следовательно, при наличии поля тяготения неприменима Евклидова геометрия. Общая О. т. вообще принимает, что результаты, полученные для особого поля тяготения (инерциального поля), справедливы и в тех случаях, когда поле тяготения неустранимо путем выбора координатной системы, т. е. когда специальная О. т. неприменима в конечных областях. В таких областях неприменима и Евклидова геометрия.
О математическом аппарате общей О. т. Термино логия, употребительная в общей О. т., заимствована из дифференциальной геометрии. — Переход от одной системы отсчета к другой совершается посредством преобразования координат. Так, напр., переход от одной инерциальной системы отсчета к другой осуществляется преобразованием Лоренца. Преобразования Лоренца образуют группу преобразований • в том смысле, что осуществление двух последовательных Лоренцовых преобразований вновь эквивалентно одному Лоренцову же преобразованию. Преобразования, к-рыми интересуется общая О. т., выражаются соотношениями (19); они называются точечными преобразованиями (преобразующими точки в точки) и образуют в своей совокупности группу точечных преобразований.
Предположим, что нам дана нек-рая величина, являющаяся функцией координат. Если мы совершим преобразование координат, то эта величина, вообще говоря, изменит свое значение в новых координатах и изменит также вид своей зависимости от координат. Если же она не меняется при преобразовании координат данной группы преобразований, то говорят, что эта величина есть инвариант этой группы преобразований. Совершенно естественно, что для О. т. такие величины, инварианты по отношению к координатным преобразованиям, имеют фундаментальное значение, так как они характеризуют свойства, независимые от системы отсчета. Особое значение имеют, в частности, инвариантные уравнения, т. е. уравнения, определяющие равенство нолю какой-либо величины вне зависимости от выбора той или иной системы отсчета, т. е. определяющие соотношения, независимые от выбора системы координат, в к-рой они написаны. К этому вопросу мы вернемся далее.
Все величины, не инвариантные по отношению к преобразованиям координат, все же имеют совершенно определенные законы преобразования при преобразовании координат, функциями которых они являются. Особое значение имеют при этом т. н. тензорные величины, или просто тензоры (см.). Частным случаем тензоров являются векторы и, напр., имеющий важное значение метрический тензор дар. Тензор есть совокупность величин, преобразующихся совместно по определенному закону и имеющих ту существенную особенность, что если эти величины — компоненты тензора — равны нолю в какойлибо системе координат, то они тем самым равны нолюи во всех других системах координат. Поэтому уравнения, выражающие равенство нолю компонент какого-либо тензора, являются инвариантными уравнениями. По этой причине отыскание тензоров и имеет для О. т. существенное значение, т. к., найдя какой-либо тензор и убедившись, что он равен нолю в какой-либо системе координат, мы получаем, уравнение, независимое от выбора систем отсчета. Разумеется, что рассматриваемые тензорные величины являются величинами, связанными с физическим экспериментом. Так, например, определение дар, т. е. зависимости дар от координат (хъ х2, х3, х4), осуществимо лишь как конкретная экспериментальная физическая задача; она сводится к опытному установлению связи между пространственными масштабами и часами, существующей в той или иной области.
Заметим еще, что О. т. всегда оперирует с «функциями точки», т. е. с величинами, непрерывно изменяющимися от одной точки пространственно-временного континуума к другой. Это значит, что О. т. является теорией поля, основанной на принципиальном допущении только близкодействия, т. е. передачи взаимодействия непрерывно от точки к точке и от момента к моменту с нек-рой конечной скоростью, и совершенно не допускает мгновенных взаимодействий. Так, например, согласно О. т., гравитационное поле (так же, как и «инерциальное) распространяется волнами, идущими со скоростью света.
В этом принципиальное превосходство релятивистской теории гравитации над теорией тяготения Ньютона, которая рассматривает тяготение как мгновенно передающуюся механическую силу.
Соответственно тому, что О. т. есть теория поля, физические проблемы формулируются в О. т. дифференциальными уравнениями для величин, характеризующих свойства поля и являющихся, поскольку мы имеем в виду тяготение и физическую геометрию, функциями дар и егопроизводных по координатам различных порядков.
Метрический тензор и тензор кривизны Вернемся теперь к вопросу, каким образом в общей О. т. исследуются свойства пространства-времени. Мы можем исследовать объективные свойства пространства-времени в какой-либо области посредством систем отсчета (масштабы и часы) точно таким же образом, как исследуются поверхности, или, более обще, n-мерные многообразия в дифференциальной геометрии (см.). Мы можем! выбрать на кривой поверхности ту или иную сетку координатных линий, так наз. Гауссову систему координат (см.), и исследовать в ней собственные свойства поверхности; точно так же мы выбираем физич. систему отсчета и исследуем в ней собственные свойства пространственновременного континуума. При этом класс допустимых систем отсчета определяется объективными свойствами пространственно-временного континуума, подобно тому как сама поверхность определяет совокупность возможных на ней тех или иных сеток координатных линий.
Собственные свойства пространственно-временной области характеризуются посредством некоторых тензоров и в первую очередь метрическим тензором дар (х1, х2, хз> х4). Этот тензор называется метрическим потому, что он определяет метрику т. е. соотношения масштабного характера в пространстве и во времени.
В дифференциальной геометрии компоненты метрического тензора дар являются решениями системы дифференциальных уравнений в частных производных, задание которой и является характеристикой данной поверхности. Эти уравнения, будучи тензорными уравнениями, т. е. выражающими равенство нолю компонент тензора, могут быть написаны в произвольной координатной системе и тем самым уже определяются и для всех иных систем. Совершенно так же пространственновременной континуум в общей О. т. характеризуется системой дифференциальных уравнений для метрического тензора дар, инвариантной по отношению ко всем системам отсчета. Для нахождения этой системы уравнений Эйнштейном был сформулирован принцип общей ковариантности физических уравнений (см. далее) как уравнений, характеризующих объективный пространственно временной континуум. Таким образом, метрический тензор дар является существенной характеристикой пространства-времени.
Из сказанного следует, что величины, характеризующие гравитационное поле и вместе с тем определяющие физическую геометрию, т. е. структуру пространственновременной области, ее метрику, должны быть функциями от дар. Основной такой величиной является т. н. тензор кривизны. Этот тензор называется так потому, что если бы речь шла не о пространственно-временной области, а об обыкновенной двумерной поверхности, то он как-раа совпадал бы с тензором, определяющим кривизну поверхности в различных ее точках. Все поверхности можна классифицировать, пользуясь тензором кривизны. Так, если для всех точек рассматриваемой поверхности тензор кривизны равен нолю, то это значит, что поверхность, является плоскостью или линейчатой поверхностью (т. е. имеет своими геодезическими линиями — прямые). Если же тензор кривизны 4=0, то поверхность называется кривой.
Для шара тензор кривизны >0. Совершенно так же мы
