Эта система не есть нормированная, т. к.
f l-dx = 2a, f cos2nxdx = J вт2пж^ж = 0, — n — n — n но ее легко сделать таковой, умножив первую функцию на — =, а все остальные — на .
Ортогональную систему образуют также Лежандра полиномы (см.) Р0(ж) = 1, Ри(ж) = 1 dw(x2 — i) w, 1 о ч / 1 г 1\.
= 25чЛ — а^~^п = 1’2’ •••)’ интервал (-1, +1); фундаментальные функции однородного линейного интегрального уравнения ь (р(х) — х J К (х, s) <р (s) ds а
с симметрическим ядром: К (х, s) = K ($, ж) и др.
Вообще, имея счетную систему линейно независимых функций, можно процессом ортогонализации Е. Шмидта построить ортогональную систему.
Система функций д? м(ж), (п — 1, 2,...), удовлетворяющих соотношениям более общего вида ь J* Р (®) <Рт <Рп (®) dx = 0, (т Ф п), а где р (х) — данная неотрицательная функция, называется ортогональной системой с весом р (ж).
Примерами ортогональных систем последнего типа могут служить: функции Бесселя, полиномы Чебышева, полиномы Якоби, полиномы Эрмита и др.
Основная задача теории О. ф. есть задача о разложении произвольной, удовлетворяющей только известным ограничениям, функции /(ж) в ряд по ортогональным функциям <рк (ж), т. е. оо в ряд вида ^Ск(рк (обобщенный ряд Фурье).
k=i Исторически к этой проблеме привел метод Фурье для решения уравнений математич. физики при заданных начальных и граничных условиях. Если положить формально / (ж) = оо где систему функций без наруk=i шения общности, можно считать нормированной с весом р (х) — 1 и допустить возможность почленного дифференцирования ряда, то для коэффициентов разложения получаются значения & Ск = $ dx. а
Эти коэффициенты, называемые коэффициентами Фурье данной функции /(ж), обладают следующим минимизирующим свойством: лить нейная форма (см.) 2 среднем наилуч-
=2
шим образом апроксимирует эту функцию; иными словами, средняя квадратичная ошибка Ь п Ъ п Д/(я0—2 С^] dx=$f*(x) dx-^C* a
k=l a k — 1 есть минимум по сравнению со всеми другими ошибками, даваемыми линейными выраженияп ми вида УкФк — Отсюда, в частности, полу — 380
чается неравенство Бесселя: оо Ъ c^<Sf2^dxfe=l а
Может случиться, что для любой непрерывной функции f (ж) эту наименьшую среднюю квадратичную ошибку, путем надлежащего выбора п, можно сделать сколько угодно малой.
Такова, напр., упомянутая выше система тригонометрических функций (см. Фуръе разложение). В таком случае система функций <рк, (к — 1, 2, ...), называется полной, а неравенство Бесселя переходит в равенство Парсеваля оо Ъ ск k — 1 а
(условие полноты). Из того обстоятельства, что ь п lim J* [/ (х) Ск %]2 dx = 0 a
fe=l (так наз. сходимость в среднем) вовсе не следует, что п оо lim Сксрк = У, Сксрк = /(х).
n^°°k=i k=i Однако существуют очень широкие условия, при к-рых такое утверждение является справедливым.
Лит.: Курант Р. и Гильберт Д., Методы2 — Р2 wdx — 2
V
математической физики, т. I, М. — Л., 1933; ГурсаЭ.» Курс математического анализа, т. I — III» М. — Л., 1933—1934; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. I, 7 изд., т. II, 5 изд., т. III, 2 изд., Л. — М.» 1934; К а с zш а г z und Steinhaus, Theorie der Ortogonalreihen, Warszawa — Lwdw, 1935. в. Демидович.
ОРТОКИСЛОТЫ, наиболее гидратированные формы кислот, напр. ортоборная Н3ВО3, ортофосфорная Н3РО4 и др. Многие О. в свободном состоянии не известны, но хорошо изучены в форме ортоэфиров (см.). Несовершенство химич. номенклатуры не позволяет дать всеобъемлющего точного определения понятия О.
ОРТОКЛАЗ, минерал из группы полевых шпатов. По хим. составу принадлежит к подгруппе калинатровых полевых шпатов, к-рая представляет изоморфные смеси ортоклаза (KAlSi3O8) и альбита (NaAlSi3O8), но в отличие от подгруппы плагиоклазов (см.) здесь имеются два изоморфных ряда соответственно частичной, а не полной растворимости этих молекул в твердом состоянии. Выделяют два ряда: 1) моноклинной сингонии — ортоклаз натронортоклаз, 2) триклинной сингонии — микроклин анортоклаз.
Общая формула (К, Na) AlSi3O8, причем для натронортоклаза количество NaAlSi3O8 не выше 38%, а для анортоклаза может и преобладать над KAlSi3O8. Для О. (KAlSi3O8) известны следующие разновидности: а) моноклинной сингонии — 1) санидин — устойчив при температуре выше 900°, встречается исключительно в молодых излившихся породах, 2) обычный ортоклаз — устойчив ниже 900°, 3) адуляр — низко-температурцый(гидротермальный), встречается, гл. обр., в разных жилах; от О. отличается своеобразной формой кристаллов, обычно прозрачен, 4) пертит — закономерно проросший кислым плагиоклазом ортоклаз; б) триклинной сингонии — 1) микроклин, 2) микроклинпертит — прорастание, аналогичное ортоклазу, 3) амазонский камень, или амазонит, — микроклин зеленовато-голубого цвета. Соответственно различной сингонии у ортоклаза углы между трещинами спайности равны 90°, а у ми-
