ОПРЕДЕЛИТЕЛИа р... у четная, и знак —, если эта перестановка нечетная. [Перестановка называется четной, когда в ней содержится четное число нарушений порядка (инверсий), т. е. большее число стрит впереди меньшего, и нечетной — в противоположном случае; так, напр., перестановка 51243 является нечетной перестановкой, т. к. в ней имеются нарушения порядка 51, 52, 54, 53, 43]. Суммирование производится по всем комбинациям индексов a, Р,,.., у, образующим перестановку чисел 1, 2, ..., п; т. к. число различных перестановок п символов равно п! = 1—2-3 ... п, то О. содержит п\ членов, из к-рых i п\ берется со знаком + и | п! со знаком — . Число п называется порядком О., а величина aik (г — 1, 2,..., п; к = 1, 2, ..., п) — элементом О. Определитель, составленный из элементов таблицы (1), записывается в виде а11 а12
•
•
•
а1п
&21 а22
•
•
•
®2П
®п2
•
•
•
®пп
[сокращенно такой О. записывается иногда в виде [a#t|]. Для О. второго порядка имеем формулу: а11 а12 ^21 ^22 — С1цО/22
^12^211
а для О. третьего порядка формулу $12 а13 4“ ^11^22^33 + ^12^23^31 ”1“ ^13^21^32
( IЭта система имеет одно определенное решение, если определитель |$а|, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нолю; тогда неизвестное хт (т = 1, 2,..., п) равно дроби, у к-рой в знаменателе стоит определитель |$t^|, а в числителе О., получаемый из определителя |$м| заменой элементов m-го столбца (т. е. коэффициентов при хт) числами b19 Ъ2, ..., Ъп.
Так, в случае системы двух уравнений с двумя неизвестными ^11®1 4" $12®2 — & 1 >
$21®1 4- $22®2 — ^2,
решение дается формулами Ь1 012 &2 022
хг =
Я? 2 =
Оц 012 021 022
®2
2/2
' ®з
2/з
$13^22^31
$31 ^32 ®33
Применяя к О. третьего порядка т. н. правило Саррюса, можно очень просто получить каждое слагаемое этой формулы и определить его знак. Приписав под О. его первую и вторую строки (или справа от О. его первый и второй столбцы), это правило можно представить схемой:
ОЦ 012 I «21 «22 I
Система(4) в случае, когда = Ь2 = ... = Ъп = О, называется однородной системой линейных уравнений. Однородная система имеет решения, отличные от ноля, только если |$/л| = 0.
Изложенная связь теории О. с теорией линейных уравнений позволила применить теорию О. к решению большого числа задач аналитич. геометрии. Очень многие формулы аналитич. геометрии удобнее всего записывать при помощи О.; напр., уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами (x1, y1, z^) 9 (®2, 3/г, (®з, 2/з, ^з), может быть записано в виде х у z 1 ®i 2/i
^’12^’21^'33
^11^23^32
Оц bl I 021 ^2 I
- i 1 Ч 1 %з 1
О. обладают многими замечательными свойствами,^ сильно облегчающими вычисление О.
Простейшие из этих свойств следующие: 1) О. не изменяется, если в нем строки и столбцы поменять местами: «11
$12
•
•
•
ат
«21
$22
•
••
.
а2п
ап1 $П2
•
•
•
^пп
=
«и $2Х
^П1
$12
^22
&П2
^1П ^2П
^пп
2) О. меняет знак, если в нем поменять местами две строки или два столбца; так, например: Яц
произведение элементов, расположенных по какой-либо диагонали, будет одним из слагаемых, причем это слагаемое берется с плюсом, если элементы расположены по диагонали, проведенной слева вниз направо, и с минусом, если они расположены по диагонали, проведенной слева вверх направо.
Теория О. возникла в связи с задачей решения системы алгебраич. уравнений первой степени (линейных уравнений, см.). В наиболее важном случае, когда число уравнений равно числу неизвестных, такая система может быть записана в виде ^11®1 + ^12®2“1" $21®2 “И ^22®2“Ь
• •
• •
• •
+ $1П®П=&1 +а2мжм= Ь2
«W1®! 4" $И2®2“Ь
•
•
•
4”&пи®я —
) I
а12 а13 аи
а11 $14 $13 $12
^21 ^22 ^23 ^24
$21 $24 $23 $22
$31 $32 $33 $'34
$31 $34 $33 $32
$41 $42 $43 $44
$41 $44 $4з $42
3) О. равен нолю, если в нем элементы двух строк или двух столбцов соответственно пропорциональны; так, например: $п $12 $13 каи $21 $22 $23 ка21 _ Q.
$31 $32 $33 ^$31
$41 $42 $43 Л? $41
4) общий множитель всех элементов строки или столбца О. можно вынести за знак О.; так, например: $11
$12
$13
$14
$Ц $12 $13 $14
к $21 к $22 ка23 /с $24
$21 $22 $23 $24
$31
$32
$33
$34
$31 $32 $33 $34
$41
$42
$43
$44
$41 $42 $43 $44
5) если каждый элемент какого-нибудь столбца (строки) О. есть сумма двух слагаемых, тогда О. равен сумме двух О., причем в одном из них соответствующий столбец (строка) со-
