геометрические формы отдельных частей машин и с такой степенью легкости, точности и быстроты, которой никакая опытность не могла бы доставить руке искуснейшего рабочего» (Маркс, Капитал, 8 изд., М., 1936, т. I, стр. 312). Моделей изобрел также кожаные манжеты для герметичности поршней гидравлических прессов. В 1810 М. изобрел машину для пробивки дыр в котельных листах; кроме того, им усовершенствован станок для нарезки винтов. Учениками М. были Несмит и Витворт (см.).
МОДУЛЬ, единица меры, служащая в применении к человеческому телу для построения канона. В качестве М. обычно принимают какуюлибо часть тела (высоту головы, длину среднего пальца руки и т. д.). По Фричу, в качестве М. берется длина позвоночника, делящаяся на 4 подмодуля.
МОДУЛЬ. Модулем (или абсолютной величиной) комп леке ного ч и сл a z=a+bi называется ]/а2+&2 (корень берется со знаком плюс). Он допускает следующее геометрич. истолкование: комплексное число z = a+&i можно изобразить вектором, исходящим из начала прямоугольной системы координат и имеющим конец в точке с координатами (а, Ь); длина этого вектора и есть М. комплексного числа z.
М. числовые называется всякая совокупность чисел, обладающая тем свойством, что сумма и разность двух чисел совокупности принадлежат той же совокупности. В частности, число 0 образует М. (нолевой M.), т. к. 0 + 0=0, 0—0=0. Особенно замечателен случай М., образованного из нек-рой совокупности целых чисел (целочисленный М.). Оставляя в стороне нолевой М., можно показать, что всякий целочисленный М. состоит из всевозможных кратных нек-рого наименьшего положительного числа т, входящего в М. Само число т называется модулем сравнения; смысл этого термина состоит в следующем. Пусть а, Ъ — два каких-либо целых числа, к-рые могут и не принадлежать данному М. Если разность а — Ъ принадлежит данному М., то говорят, что числа а и Ь сравнимы по модулю т, и пишут a=b (mod. m).
Числовые М. являются частным случаем абелевых групп (см.) относительно операции сложения. Аддитивно записанные (со сложением в виде основной операции) абелевы группы иначе и в общем случае называются М.
МОДУЛЬ (от лат. modulus — мера), термин, применяемый в сопротивлении материалов (см.), теоретической физике, различных отделах математики; служит для обозначения особо важных коэффициентов или величин. В машиностроении модуль зацепления — отношение диаметра начальной окружности зубчатого колеса к числу его зубцов (см. Зубчатое колесо).
МОДУЛЬ УПРУГОСТИ, величина, равная отношению напряжения деформации (см.) к относительной деформации. Существует несколько М. у.: а) модуль линейного растяжения Е, называемый еще модулем Юнга; б) модуль объемного сжатия К; в) модуль сдвига G. Кроме этих трех величин, в теории упругости применяется еще величина а, называемая коэффициентом Пуассона. Последний численно равен отношению поперечного сокращения к продольному растяжению. Между четырьмя величинами Е, К, G, сг существуют два соотношения: Е 2G = 1 + £^ = 1—2а.
Таким образом, независимыми из них являются только две.
МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ, аналитич. функции, значения к-рых не меняются, если зна 618
чение аргумента х заменить значением где а, 0, у, д — целые числа, такие, что ад — ру=1.
Частным случаем М. ф. являются периодические функции (см.) (напр., функция sin яке, значения которой не меняются, если х заменить через где п — любое целое число; здесь а = д = 1, ft = п, у = 0). В свою очередь М. ф. являются частным случаем автоморфных функций.
Важнейшие М. ф. связаны с эллиптич. функциями, почему и называются эллиптическими М. ф. (термин принадлежит Дедекинду). Так, рассматривая коэффициенты 02 и 0з в дифференциальном уравнении(^02= 403 — дзу — дз (к-рому удовлетворяет эллиптич. функция у=рх Вейерштрасса) как функции периодов со и со' функ03 ции рх, образуем отношение: — — — — • Мож02—270! но показать, что это отношение зависит лишь О)'
от отношения периодов т= — и является модулярной функцией т. Последняя функция называется абсолютным инвариантом (Клейн) и обозначается через Цт). Она играет важную роль в теории эллиптических функций; в частности, при ее помощи решается задача нахождения периодов со и со' по заданным 02 и д3. Другой важной М. ф. является функция х2(т)=Л(т)= — — где elf е2 и е3 — корни кубиче1~ ез ного уравнения 4у3—02у — 03=О. Функция 1(т) дает конформное отображение (см.) заштрихованной на рис. области на полуплоскость. Функция I (т) рационально вы4(х4_х2 J — 1) 3 ражается через «2(т): /(т)=_л_____2_. Посредством
обратной модулярной функции Пикар доказал свою «большую» теорему.
Лит.: Гурвиц А., Теория аналитических и эллиптических функций, пер. с 3 нем. изд., Л. — М., 1933; Курант Р., Геометрическая теория функций комплексной переменной, пер. с 3 нем. изд., Л. — М., 1934; Форд Л. Р., Автоморфные функции, перевод с англ., М. — Л., 1936; Klein F., Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, ausgearb. u. vervollstandigt v. R. Tricke, Bd I — II, Lpz., 1890—92.
МОДУЛЯЦИЯ (муз.), переход из одной тональности в другую, обычно совпадающий с одним из узловых моментов в развитии формы музыкального произведения. М. в музыке 17—20 вв. имеет три основных функции: 1) нарушение устойчивости как стимул к дальнейшему движению посредством перехода из первоначально установленной главной тональности в другую; это характерно для первых частей музыкальной формы (первый период простой двухи трехчастной формы, экспозиция сонаты); 2) поддержание состояния неустойчивости посредством смены различных побочных тональностей в средних частях формы (середина двух — и трехчастной формы, разработка сонаты); 3) восстановление устойчивости посредством возвращения в главную тональность к началу заключительной части формы (репризы двух — и трехчастной формы, реприза сонаты) или иногда внутри нее. По технике выполнения различаются следующие виды модуляции: 1) через общее двум соседним тональностям созвучие (иногда — один звук), за к-рым следует т. н. модулирующий аккорд, ясно определяющий новую тональность; 2) через т. н. эллиптич. сопоставление аккордов, не находящихся в непосредственной ладовой связи. По характеру воздействия на слух различается М. постепенная (плавный, как бы незаметный переход) и внезапная (переход, в той или иной мере неожиданный). Особняком стоит т. н. сопоставление тональностей, т. е. приведение их в непосредственное соприкосновение без процесса перехода.
МОДУЛЯЦИЯ, радиотехнич. термин, означающий воздействие на систему, совершающую
