конечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (1 — ^-соответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Его останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (1 — ^-соответствии со своей правильной частью. Один из простейших примеров этого заключается в возможности установить (1—1) — соответствие между множеством всех натуральных чисел и множеством всех четных натуральных чисел.
Это соответствие получается, если натуральному числу п заставить соответствовать натуральное число 2 п. Вместо того, чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться отт. н. аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказывается от одно-однозначности как критерия равномощности и, таким образом, остается вне основного русла развития М. т. В каждом бесконечном множестве М имеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всему М, тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества (Дедекинд).
Для двух данных множеств А и В возможны лишь следующие три случая: либо в А есть правильная часть, равномощная В, но в В нет правильной части, равномощной А; либо, наоборот, в В есть правильная часть, равномощная А, а в А нет правильной части, равномощной В; либо, наконец, в А есть правильная часть, равномощная В, и в В есть правильная часть, равномощная А. Доказывается (теорема Кантора — Ф. Бернштейна), что в третьем случае множества А и В равномощны. В первом случае говорим, что мощность множества А больше мощности множества В, во втором случае — что мощность множества В больше мощности множества A. A priori возможный четвертый случай — в А нет правильной части, равномощной В, а в В нет правильной части, равномощной А, — в действительности не может осуществиться, что доказывается, однако, лишь при помощи т. н. аксиомы Цермело (см. ниже).
Для понятия мощности множеств (см.) основным является вопрос о существовании неравномощных множеств. Основной относящийся сюда результат доказан еще Кантором, а именно: множество всех подмножеств данного множества М имеет мощность большую, чем множество М. Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счетным множеством. Мощность счетных множеств есть наименьшая мощность, к-рую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счетное правильное подмножество. Удаляя из несчетного множества любое счетное правильное подмножество, получим в остатке множество, равномощное первоначально данному. Далее: сумма (см. ниже) конечного или счетного множества счетных множеств есть счетное множество. Кантор доказал также, что множество всех рациональных и даже всех алгебраич. чисел счетно, тогда как множество всех действительных чисел несчетно.
Мощность последнего множества называется мощностью континуума. Множеству действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счетного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество “всех точек плоскости, а также множество всех точек трех и вообще n-мерного пространства при любом п. Кантор высказал гипотезу (так называемую континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действительных чисел, или конечно, или счетно, или равномощно множеству всех действительных чисел; эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута.Отображения множеств. В М. т. аналитич. понятие функций, геометрия, понятие отображения, или преобразования, фигуры и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множества X и Y, и пусть каждому элементу х€ X поставлен в соответствие некоторый определенный элемент 1/ = /(х) множества Y. Тогда мы говорим, что имеется отображение множества X в множество Y или что имеется функция, аргумент к-рой пробегает множество X, а значения принадлежат множеству Y; в частности для каждого данного х€Х элемент y=f(x) множества Y называется образом элемента х£Х при данном отображении или значением данной функции для данного значения ее аргумента х. Примеры: 1) нек-рое множество людей, к-рое обозначим через X, идет на лодочную пристань, где имеется нек-рое множество лодок Y; все лица, составляющие множество X, рассаживаются по лодкам. Этим устанавливается отображение множества X в множество Y: каждому человеку х 6 X соответствует та лодка у=/(х), в к-рую он сел; 2) рассмотрим в плоскости, с данными на ней координатными осями, квадрат с вершинами (0;0), (0;1), (1;0), (1;1) и проекцию этого квадрата хотя бы на ось абсцисс; эта проекция есть отображение множества X всех точек квадрата на множество Y всех точек его основания: точке с координатами (х, у) соответствует точка (х, 0); вместо квадрата можно было бы взять любую другую фигуру на плоскости (т. е. любое множество, элементами к-рого являются точки плоскости), в частности множество всех точек плоскости; 3) пусть X есть множество всех действительных чисел; для каждого действительного числа х € X nononusMy — f^x) = sinx; так как всегда для действительных значений х имеем — 1< sinx<l, то имеем отображение множества X в множество Y всех действительных чисел у, удовлетворяющих условию — 1<у <1. (1—1) — соответствие между двумя множествами X и Y является таким отображением множества X в множество Y, при к-ром каждый элемент множества Y является образом одного и только одного элемента множества X.
Операции над множествами. Суммой двух, трех,..., вообще произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех тех предметов, каждый из к-рых есть элемент хотя бы одного из данных множеств-слагаемых. Пересечением двух, трех,..., вообще любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество всех общих элементов всех данных множеств. Пересечение даже двух непустых множеств может быть пустым. Разностью В — А между множеством В и его подмножеством А называется множество всех элементов В, не являющихся элементами А; разность В — А называют также дополнением множества А до множества В. — Операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (см. Ассоциативный закон, Коммутативный закон). Пересечение, кроме того, распределительно и по отношению к сложению и по отношению к вычитанию. — Эти действия обладают тем общим свойством, что если их производить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множества М, то и результат будет подмножеством множества М. Этим свойством не обладает т. н. внешнее умножение множества: внешним произведением множеств X и Y называется множество (Хх Y) всех пар.(х, у), где х€Х, yQY. Другим в этом смысле «внешним» действием является «возведение в степень»: степенью Y-^ двух множеств X и Y называется множество всех отображений множествах в множествоУ.
Можно определить внешнее умножение любого множества множеств так, что в случае совпадения множителей оно переходит в возведение в степень. Если5ну суть мощности множеств X и Y, то£-»? и^ определяются соответственно как мощности множества XхYи Yx, что в частном случае конечных множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными мощностями.
Упорядоченные множества. Установить в данном множестве X порядок — значит установить для элементов этого множества нек-рое правило предшествования (следования) (утверждения: «элемент х' предшествует элементу х"», х'<х" и «х" следует за х'», х">х' выражают одно и то же). При этом предполагаются выполненными следующие требования: 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких двух различных элементов х' СX и x"QX один предшествует другому (т. е. или х'<х" или х"<х'); 3) условие транзитивности: еслих<х' и х'<х", тох<х". — Множество, рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нем порядком, называется упорядоченным множеством. Пример: множество всех действительных чисел, в котором меньшее из любых двух чисел считается предшествующим большему, есть упорядоченное множество. — Два упорядоченных множества называются подобными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие, сохраняющее порядок. Про подобные упорядоченные множества говорят также, что они имеют один и тот же порядковый тип. Таким образом, порядковый тип данного упорядоченного множества есть единственное свойство, общее этому упорядоченному множеству и всем подобным ему.
