МЕХАНИКАчается в том, что эти силы наперед не заданы и, наоборот, становятся известными только после того, как определится движение системы (обычный метод решения задач всегда содержит предварительное исключение связей из уравнения движения в дифференциальной форме и последующее их определение по найденным уравнениям движения в конечной форме). — Если сумма элементарных работ реакций связей на любом элементарном перемещении системы равна нолю, то такие связи называются идеальными. Фундаментальным принципом М. несвободных систем является принцип возможных перемещений, определяющий условия равновесия системы под действием совокупности задаваемых сил. Принцип формулируется так: необходимое и достаточное условие равновесия несвободной системы с идеальными связями заключается в равенстве нолю суммы работ задаваемых сил на любом возможном элементарном (бесконечно-малом) перемещении системы. Принцип возможных перемещений — имеет большое значение при рассмотрении условий равновесия сложных систем, состоящих из большого числа тел, но имеющих малое число степеней свободы (машина — одна степень свободы, механизм — одна, две или несколько степеней свободы).
Условие равновесия системы с k степенями свободы, соответствующими обобщенным независимым координатам-параметрам Qi, q%, •••, <1к> сводится на основании принципа возможных перемещений к равенству нолю суммы элементарных работ задаваемых сил: п k i=l 7=1 которое (в силу произвольности величины dqj) эквивалентно следующим: Q1 = Q2 = ... = Q7c=O,’1 т. е. все обобщенные силы должны равняться нолю.
При решении динамич. задач движения несвободной системы лучше всего пользоваться принципом Д’Аламбера. Пусть к несвободной точке Mi приложена задаваемая сила Fi и реакция связей (равнодействующая) Ni и пусть в своем действительном движении под действием совокупности сил Fi+. А/точка (масса ее тир имеет ускорение w. тогда, очевидно, 9n/w/= F£ + Д’Аламбер называет потерянной силой Р/ разность между задаваемой силой Fi и той силой, под действием к-рой точка имела бы свое ускорение w£, если бы была свободной, т. е. разность Pi = F£-mwi=-Ni — Это не что иное, как давление точки на связь. Принцип Д’Аламбера утверждает, что потерянные силы уравновешиваются при помощи связей, т. е. п (Р/, — т£ w£> <5r/) = 0 ! (8) г==1 (дп- — возможное перемещение точки системы). Это уравнение иногда называют общим уравнением динамики, или уравнением Д’Аламбера, хотя впервые оно было дано Лагранжем. Если ввести в рассмотрение векторы и назвать их силами инерции точек системы (эти силы на самом деле к точкам системы не приложены), то равенство (8) сможет быть переписано так:; п«»•<)=о i=i и сформулировано следующим образом: уравнениям движения несвободной системы можно придать вид уравнений равновесия, если к действительно приложенным силам присоединить условно силы инерции. Отсюда следует метод формального сведения уравнения движения к уравнению равновесия путем введения сил инерций — метод, широко применяемый на практике, особенно в вопросах машинной техники. — Из общего уравнения динамики выводятся самые различные уравнения. В частности, из уравнения (8), путем введения обобщенных координат, получаются уравнения Лагранжа для системы с k степенями свободы:
_£0T_0T=Qy (i==1>2, fe), (9) dt dqj dqj где обозначения те же, что и в уравнениях (5), но обобщенные на случай системы точек. К несвободной системе точек может быть применен метод Гамильтона Якоби, аналогичный тому, который был уже указан ранее для отдельной свободной точки. — Аппель в 1899 указал весьма общую форму уравнения динамики несвободной системы, имеющую место как для голономных, так и для неголономных систем. Эти уравнения имеют вид:
dqj
=
(3 = 1, 2. .... к),
i= l
и раньше, — «обобщенная сила», т. е. коэффициент при соответствующем дифференциале dqj в выражении элементарной работы заданных сил при условии, что эта работа выражена как сумма произведений обобщенных сил на независимые dqj. Вообще же для исследования движения неголономных систем можно применять более сложный метод лагранжевых множителей.
Можно сопоставить все перечисленные типы уравнений динамики с некоторыми вариационными задачами, для к-рых уравнения динамики являются соответствующими дифференциальными уравнениями. Прежде всего надо упомянуть об интегральном вариационном принципе Гамильтона. Рассмотрим интеграл «2
A=J Ldt
ti (L — кинетический потенциал системы). Этот интеграл носит название «действия» или гамильтонова действия. Если сравнить действие, вычисленное по «прямому» пути системы, т. е. согласно движению, соответствующему связям системы, приложенным силам и заданным начальным условиям, иными словами, по пути действительного движения, с действием по «окольному» пути, под к-рым будем понимать любое возможное (совместимое со связями) движение, бесконечно близкое к действительному движению системы, то изменение (или вариация) действия при переходе от прямого пути к окольному, имеющему с прямым общие начальные и конечные точки, равно нолю (<5А = 0). В этом состоит вариационный принцип Гамильтона в случае консервативной системы.
Принцип легко выводится из лагранжевых уравнений (9) и, наоборот, лагранжевы уравнения могут быть выведены из условия равенства нолю вариации действия.
Если подчинить окольный путь условию иметь одинаковую полную механич. энергию с прямым путем, то принцип Гамильтона превратится в более частный принцип Мопертюи, указанный Мопертюи за сто лет до Гамильтона. Если обозначить через Ajf действие по Мопертюи <2
Tdt, h
то принцип Мопертюи утверждает, что вариация действия по Мопертюи, при переходе от участка прямого пути к соответствующему участку окольного пути, имеющему с прямым одинаковые начальные и конечные точки и одинаковую полную механическую энергию, равна нолю (<5Aj/=0). Еще более суживая понятие окольного пути, придем к дифференциальному принципу наименьшего принуждения (Гаусс) или наименьшей «кривизны» (Герц).
Рассмотрим величину п
и назовем ее «принуждением» или «кривизной» движения системы (происхождение понятия становится ясным для отдельной точки после введения понятия «девиации» и кривизны траектории). Тогда принцип Гаусса-Герца формулируется так: принуждение или кривизна принимает максимальное значение на прямом пути системы по сравнению с окольным путем, имеющим в каждый данный момент общие координаты и скорости с прямым путем. Принцип легко выводится и непосредственно, но может быть выведен и из уравнений Аппеля. Принцип Гаусса-Герца с большим успехом применяется для неголономных систем (Герц).
Вариационный принцип Мопертюи имеет сравнительно простое физич. значение. Если заменить в выражении действия дифференцирование по времени дифференцированием по координатам, причем полная энергия одинакова для прямого и окольного пути, то принципу можно придать чисто геометрич. вид. В случае отсутствия силового поля принцип Мопертюи, напр., црямо утверждает, что несвободная точка, вынужденная двигаться по поверхности, будет двигаться так, чтобы проходимая ею дуга была экстремальной (т. е. по геодезич. линии).
Для системы точек то же утверждение справедливо относительно «изображающей» точки, т. е. такой точки, координаты к-рой в пространстве Зп измерений являются Зп координатами всех точек системы. В этом принципе движение по кратчайшей траектории представляется глубоко физичным и тесно связанным с другими физическими вариационными принципами (напр., принципом Ферма в оптике). Другие принципы не так легко интерпретируются с физич. точки зрения. Так, принцип Гамильтона иногда интерпретируют как утверждение экстремальности среднего (интегрального) значения избытка кинетич. энергии над потенциальной, но такая формулировка очень мало наглядна. В принципе Гаусса-Герца, если заменить отношение — F£ условным ускорением w/*,
п
где S — 260
971/
2 — т. н. энергия ускорений, a Qj, как
к-рое имела бы точка, если бы она была свободна, то можно говорить о минимальности «энергии» потерянных (из-за наличия связей) ускорений. Такая формулировка,
