Механика 18 вока. Важнейшими для 18 в. являются исследования по М. твердого тела, гидромеханике и завершение небесной М. Общие уравнения динамики твердого тела были впервые даны Д’Аламбером (1717—83) в работе, относящейся к 1749. До Д’Аламбера не были установлены в общем виде даже уравнения равновесия твердого тела, в динамике твердого тела было известно лишь решение задачи о центре колебания физич. маятника (т. е. о вращении твердого тела вокруг оси). Установив общие уравнения равновесия твердых тел и применив затем свой принцип, опубликованный им ранее в 1743, Д’Аламбер получил шесть уравнений движения твердого тела. В более изящном, простом виде эти уравнения были несколько позднее найдены Эйлером (1765). В этот же период создаются основы гидромеханики (см.) (Д. Бернулли, Эйлер, Лагранж). К началу 18 века кинематика отдельной точки получила уже вполне законченное развитие. Середина 18 в. ознаменовалась появлением кинематики твердого тела, к-рой мы обязаны Эйлеру (1707—83; «Theoria motus corporum solidorum», 1765). До Эйлера частным случаем твердого тела — движением плоской фигуры в своей плоскости — с геометрии, стороны занимались Декарт и Роберваль (1602—75), изучавшие кинематич. методы получения геометрии, кривых. В работах последнего с полной отчетливостью встает идея сложения движений и понятия мгновенного центра. — Эйлер дал новый метод определения положения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра, при помощи трех углов (углы Эйлера; «Novi Comment.», Petrop., 1776).
В той же работе доказана известная теорема о замене произвольно малого перемещения тела вокруг неподвижного центра одним малым поворотом вокруг оси, проходящей через этот центр. Для произвольно малого перемещения тела эта фундаментальная теорема была обобщена Моцци (М о z z i, Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi, Neapol, 1763), а затем Коши (1827) и Шалем (1843). — В области динамики разрабатываются общие принципы. Развитием закона живых сил мы обязаны Иоанну Бернулли (1667—1748) и Даниилу Бернулли, к-рые придали закону почти современный вид. Термин «работа сил» появился лишь в 19 в. у Понсе ле и др. Эйлер и затем Даниил Бернулли показали, что существуют такие случаи, когда изменение живой силы не зависит от пути движения; этим была подготовлена почва для Лагранжа, к-рый в своей «Аналитической механике» уже дает понятие силовой функции (термин Гамильтона); понятие потенциала было введено только в 19 в. Грином (1828). Закон площадей был найден одновременно (1746) Эйлером и Даниилом Бернулли. Д’Арси сформулировал — его несколько позже (1747) на основании исследования Ньютона, обобщив закон постоянства секториальной скорости (второй закон Кеплера). — Механика несвободной системы развивалась параллельно с М. свободной системы. Хотя понятие связи строго введено и проанализировано было лишь Фурье в 1798 («Journal de I’Ecole Polytechnique», 5cahier), но уже Стевин («Hypomnemata mathematica», t. IV) рассматривал возможные (допустимые связями) перемещения в частном случае блоков. Им же впервые для того же случая блоков было показано, что для равновесия грузов необходимо равенство произведений весов двух грузов на их перемещения. Эта первая формулировка принципа возможных перемещений затем постепенно развивалась и распространялась на случаи различных несвободных систем. Так, Галилей в своем исследовании о наклонных плоскостях приводит тот же принцип в форме популярного «золотого правила механики»: «что выигрывается в силе, то теряется в скорости».
Торричелли в 1644 дает этому принципу форму утверждения, что центр тяжести системы при равновесии ее занимает наиболее низкое возможное положение. Обобщение принципа возможных перемещений для любых сил (а не только сил веса) было дано Иоанном Бернулли (1717).
Дальнейшим развитием принципа и обобщением его на различные типы несвободных систем мы обязаны Лагранжу, Пуассону и Амперу. Во всех вышеуказанных сочинениях принцип возможных перемещений не доказывается, а лишь формулируется и поясняется, т. к. доказательства основываются на представлении об идеальных связях, т. е. таких, для к-рых сумма работ сил реакций на любом возможном перемещении системы равна нолю. Вся трудность состоит как-раз в распознавании, какие связи можно принимать за идеальные и какие нет. Существенным здесь является введение в рассмотрение принципа освобождаемое™, допускающего замену связей их реакциями. Этот принцип ведет свое начало с самого зарождения статики. Во всяком случае Стевин и Галилей им уже широко пользуются, заменяя одни связи другими с одинаковой реакцией.
Принцип возможных перемещений рассматривается обычно как принцип статический, но и по своему содержанию и по доказательствам он тесно связан с динамическими (энергетическими) представлениями. Свое применение в динамике принцип возможных перемещений получил лишь после появления принципа Д’Аламбера («ТгаИё de Dynamique», Р., 1743). Принцип Д’Аламбера был первым принципом динамики несвободной системы, позволившим сразу решить целый ряд динамических задач на движение систем со связями. По существу смысл принципа Д’Аламбера заключается в том, что он сводит решениединамич. задачи к решению статич. задачи об уравновешивании при помощи связей особых сил («потерянных», по терминологии Д’Аламбера), равных разности приложенных сил и тех сил, под действием к-рых точки системы, будучи свободными, производили бы свои действительные движения. Такое формальное сведение задачи динамики к статич. задаче привлекало и до сих пор привлекает всеобщее внимание к принципу. Введение в формулировку принципа Д’Аламбера понятия «сил инерции» было сделано гораздо позднее, повидимому, уже только в начале 19 в., и ничего не изменило по существу. Блестящим завершением 18 в. явилась «Аналитическая механика» Лагранжа (1788). В ней, на основе принципа возможных перемещений и принципа Д’Аламбера, выводятся общие уравнения М. (уравнения Лагранжа).
Механика в 19 веке. Достижения Лагранжа в значительной мере относятся уже к следующему периоду развития М. (с конца 18 в. и до последней четверти 19 в.).
Этот период теснейшим образом связан с тем глубоким сдвигом в естествознании, к-рый произошел после франц. буржуазной революции. В естествознании этот период является периодом внедрения и господства эволюционных идей (космогонич. гипотеза Канта — Лапласа и др.).
Для физики этого периода характерно подготовление, а затем победа закона сохранения и превращения энергии. Внедрение паровой машины поставило проблему превращения теплоты в механич. работу и обратно. Физика, в особенности волновая оптика и акустика, поставила перед М. проблему исследования движений в сплошной среде. Широкое внедрение машин в производство выдвинуло задачи — создать теорию механизмов, развить теорию упругости, сопротивления материалов и гидравлику. Если М. конца 17 и в значительной мере 18 вв. занималась по преимуществу проблемами движения небесных тел, то М. 19 в. центр внимания перенесла на разработку вопросов физических и технических. В этот период получает свое завершение кинематика твердого тела. Пуансо вводит понятие о центроидах (геометрических местах мгновенных центров) и аксоидах (конич. поверхностях, образованных мгновенными осями) и доказывает теорему о катании без скольжения подвижных центроид (аксоид) по неподвижным. Кинематика твердого тела послужила основой общей кинематики относительного движения (или, что то же, теории сложения движений); так, «переносное» движение есть не что иное, как движение определенного пункта подвижной системы отсчета. Эйлер заложил основу теории относительного движения (вместе с тем он наряду с Ньютоном признавал существование абсолютного движения), однако заслуга установления закона сложения ускорений в составных движениях принадлежит уже ученому 19 в. Кориолису (1792—1843).
Дальнейшее развитие кинематики идет гл. обр. по пути ее приложений к практике. Начало 19 в. ознаменовалось расцветом теории машин и механизмов. В связи с этим кинематика становится крупным разделом прикладной М., при этом развиваются уже чисто прикладные методы кинематики (кинематика механизмов). Упомянем трактат Понселе (1788—1876), вышедший в Меце в 1826—1829, и Кориолиса — в 1829. Первой специальной работой по кинематике механизмов можно считать книгу Виллиса «Principles of mechanism», появившуюся в свет в 1841.
Дальнейшее развитие эта наука получила в классич. сочинении Рело (Reuleaux F., Theoretische Kinematik), вышедшем в 1875. Нельзя не упомянуть здесь же единственную в своем роде монографию по кинематике Кейигса (Koenigs G-., Lemons de cin^matique, P., 1899). Графические методы кинематики ведут свое начало от соответствующих теорем о параллелограме скоростей и параллелепипеде ускорений. Практические методы графич. кинематики (планы скоростей и ускорений) были даны О. Мором в 1887 и в настоящее время получили широкое распространений. Из числа исторически важных задач прикладной кинематики следует упомянуть о задаче получения прямолинейного движения при помощи одних лишь вращательных движений. П. Л. Чебышев (1821—94) создал ряд механизмов, решающих эту задачу. Геометрические методы решения задачи о приближенных прямолинейно направленных механизмах, основанных на тех представлениях, к-рые были введены в кинематику плоского движения в классич. труде Бурместера (Burm еstег L., Lehrbuch der Kinematik), в своем естественном развитии привели к созданию новой отрасли прикладной кинематики — кинематич. синтезу.
Последние годы 18 в. и начало 19 в. знаменуются развитием методов т. наз. аналитической М. С одной стороны, накапливаются применения основных уравнений Ньютона к конкретным случаям, особенно в задачах небесной М. и близких проблемах (Лаплас, Лагранж, Пуассон), с другой стороны, сами уравнения для более сложных случаев движения преобразовывают к различным формам (уравнения Лагранжа в обобщенных координатах, способ множителей и, наконец, канонич. уравнения). Идея введения канонич. переменных в динамике (обобщенные лагранжевы координаты и импульсы) принадлежит Пуассону (1809); Лагранж (1810) применял канонич. переменные к частной задаче. Пфафф в 1814—15 и Коши в 1819 связали эти уравнения с теорией характеристик уравнений в частных производных. Окончательную свою форму
