аксиоматич. метод является лишь средством изучения количественных и пространственных форм действительного мира, а не способом их создания. В этом качестве он достиг большой гибкости и широко применяется также в механике, физике и т. д. — Сами понятия элемента и множества, отображения одного множества на другое и классификация различных типов отношений между элементами произвольного множества являются предметом теории множеств, приобретающей, т. о., для всей М. исключительное значение (см. Множеств теория). — Полное овладение аксиоматич. методом произошло лишь к началу 20 в. В настоящее время уменье аксиоматически оформить тот или иной круг идей (из области М., механики или физики), исследовать систему аксиом на полноту, совместность, независимость и т. п. должно рассматриваться как необходимый элемент общего математич. образования научного работника, работающего в самой М. или математической физике.
В заключение мы должны еще выяснить отношение современного аксиоматического метода к старому пониманию аксиом как «очевидных» истин. Пока аксиоматически изложенная математич. теория рассматривается абстрактно, т. е. независимо от того, к каким именно объектам и отношениям ее собираются применять, возникает вопрос не об истинности ее аксиом, но лишь об их совместности. Однако, как уже говорилось, совместность абстрактно взятой системы аксиом обозначает не что иное, как истинность этих аксиом в какой-либо специальной интерпретации абстрактной теории.
Таким образом, современный аксиоматич. метод ничего не меняет в том положении, что всякая математич. теория исходит из соответствия ее аксиом действительности (по меньшей мере для одной интерпретации абстрактной теории).
Уверенность в соответствии аксиом действительности, в конечном счете, всегда опытного происхождения. Если опыт, на котором эта уверенность основана, является общим всему человечеству донаучным опытом, превратившимся уже в непосредственную уверенность, не ссылающуюся ни на какие определенные отдельные наблюдения, мы имеем дело с очевидностью. Так дело обстоит с аксиомами элементарной геометрии. В других случаях истинность аксиом математич. теории (для заданной системы объектов и отношений) основывается на специальном научном эксперименте (напр. в случае аксиоматич. изложения основ принципа относительности) или на специальном математич. доказательстве (напр. при доказательстве соблюдения аксиом проективной геометрии в обычном эвклидовом пространстве, пополненном «бесконечно-удаленными элементами»).
Заключение об общем характере развития М.
Аксиоматический метод доставляет нам самый широкий принцип построения формально объединенной теории. Предметом каждой формально объединенной теории (будь то теории чисел, теории групп, топологии и т. д.) является изучение всех систем объектов, удовлетворяющих лежащей в основе теории системы аксиом. В случае, напр., теории чисел такая система «с точностью до изоморфизма» единственна, в случае теории групп, или топологии — нет. В пределах каждой такой формально объединенной теории развиваются стремящиеся охватить ее возможно полнее алгоритмы, автоматизирующие (сво 394 дящие к вычислению) решение проблем теории.
Диалектическое развитие М. происходит по трем направлениям: 1) созданйе для охвата новых количественных и пространственных форм и отношений действительного мира новых теорий, построенных на новых системах аксиом; 2) развитие новых алгоритмов, охватывающих (в пределах формально уже определенной своими аксиомами теории) решение проблем, недоступных старым алгоритмам; 3) создание новых алгоритмов для решения более коротким путем проблем, лишь принципиально доступных старым алгоритмам.
В этом своем развитии М. не боится противоречий: новая система аксиом может противоречить старой (введение в геометрию бесконечно удаленных элементов противоречит аксиомам элементарной геометрии), правила нового алгоритма могут противоречить правилам старого. Иногда делают вид, что не замечают этого противоречивого характера развития М., разрывая для этого развитие М. на отдельные несвязанные куски. Если, напр., введение i — У — 1 противоречит правилам алгебры действительных чисел, то говорят, что алгебра комплексных чисел не есть органич. продолжение алгебры действительных чисел, а новая и совершенно независимая теория. В угоду этому взгляду объявляют даже, что, напр., число +|/2* в системе действительных чисел и то же самое число в системе комплексных чисел не является одним и тем же числом, так как, якобы, «строго говоря», в системе комплексных чисел мы имеем дело с_ «парой» ( +|/2Д)), а не просто с числом +]/2. В угоду этой же тенденции во всем мире 12—13 — летних детей заставляют учить, что положительные числа в алгебре являются чем-то совсем отличным от чисел «без знака», рассматриваемых в арифметике (а иногда даже доходят до требования выучить ответ на вопрос: в чем разница между «арифметическим» и «алгебраическим» нолем?). Между тем, вполне естественно, например, систему всех комплексных чисел считать расширением системы действительных чисел. Если до введения комплексных чисел мы говорим, что квадратный корень из отрицательного числа извлечь нельзя, то после их введения это правило отменяется, и взамен его остается лишь положение, что квадратный корень из отрицательного числа не может быть действительным. — Образец исследования диалектич. характера развития М. был дан К. Марксом в изданных в 1933 математич. рукописях (относящихся к 1870—82). В СССР впервые широко поставлена задача разработки истории и философии математики на основе марксистской ма^ериалистич. диалектики. До настоящего времени, однако, можно говорить лишь о первых шагах, сделанных в этом направлении.
III.
Современная
организация исследования.
математического
Мы проследили в историч. части статьи, как к началу 20 в. сложились основные разделы современной М. К 20 в. объем математической науки количественно возрос по сравнению с 18 в. во много раз. Чрезвычайно увеличилось и число продуктивно работающих математиков.
В соответствии с более широким распространением математич. исследований основными центрами, объединяющими математиков, рядом
