В биологических науках математичёбййй метод играет более подчиненную роль. Если и удается заключить течение биологических явлений в математические формулы, то область пригодности этих формул остается весьма ограниченной, а соответствие их реальному ходу явлений грубо приближенным. Объясняется это не принципиальной невозможностью математического изучения биологических явлений, я, их большим качественным разнообразием.
Сравнительно неподвижные и простые формы, доступные математической обработке, здесь лишь весьма несовершенно охватывают всю конкретность явлений. Можно, напр., математически записать законы взаимодействия между несколькими видами, находящимися в процессе борьбы за существование. Можно проинтегрировать полученные уравнения и выяснить условия возможности устойчивого сосуществования видов, вытеснения одних видов другими, или возникновения периодических колебаний их численности. Полученная математическая схема находится в таком же отношении к реальному процессу борьбы за существование, как механика системы материальных точек к действительному движению тел солнечной системы; в обоих случаях построенная нами математич. схема представляет собой вполне реальную форму течения конкретных явлений, при этом форму общую, могущую принципиально повторяться неограниченное число раз: механика системы материальных точек, движущихся под действием сил ньютоновского тяготения, охватывает не только движение солнечной системы, но и движение других систем небесных тел, точно так же взаимоотношения между различными группами сосуществующих в различных местах видов являются предметом одной общей теории. Существенное различие заключается в том, что в случае изучения движения солнечной системы общая форма явления, подвергнутая математич. обработке, почти целиком исчерпывает конкретный случай движения тел солнечной системы, в случае же борьбы нескольких видов — за существование каждый отдельный случай осложнен столь большим числом качественно своеобразных особенностей, что было бы совершенно необоснованным ожидать, чтобы действительный ход явлений обнаруживал особенно точное соответствие с выводами математич. теории. Не следует, однако, и недооценивать роли математич. метода в тех случаях, когда, не давая точных количественных результатов (в силу пренебрежения теми или иными сторонами явления, не поддающимися математич. обработке), он все же позволяет обнаружить общие тенденции хода явлений.
Уже в аэро — и гидромеханике математич. теория, исходящая из упрощенных предпосылок, часто служит не для получения количественно правильных результатов, а для общей ориентировки и направления дальнейших экспериментов, к-рые часто одни способны дать требуемые количественные результаты. — В еще большей степени, чем в биологии, математич. метод уступает свое место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной обстановке в социальных науках. Здесь особенно велика опасность, абстрагировав форму течения явлений, пренебречь накоплением качественно новых моментов, дающих всему процессу существенно иное направление. Не случайно поэтому сложный математич. аппаратт. н. «математической политической экономии» был использован буржуазной наукой с целью доказательства устойчивости и неизменности капиталистич. строя. Фундаментальным остается значение — М. для социальных дисциплин в форме подсобной науки — математической статистики (см.). В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого историч. этапа приобретают столь доминирующее положение, что математич. метод отступает на задний план.
Следует, однако, отметить значение, к-рое придавал Маркс построению математической теории кризисов: «Я здесь рассказал Муру одну историю, с которою частным образом долго провозился. Но он думает, что вопрос неразрешим или, по крайней мере, pro tempore (для данного времени. — Ред.) неразрешим в виду многочисленных и неоткрытых еще теперь факторов. Дело в следующем: ты знаешь таблицы, в которых представлены цены, учетный процент и пр. в их движении в течение года и т. п. в их колебаниях вверх и вниз. Я неоднократно пытался — для анализа кризисов — вычислить эти up and downs (повышения и понижения. — Ред.), как неправильные кривые, и думал (думаю еще и теперь, что это возможно с достаточно проверенным материалом) математически вывести из этого главные законы кризисов. Мур, как сказано, считает задачу пока невыполнимой, и я решил for the time being (на ближайшее время. — Ред.) отказаться от нее» (Маркс, Письмо Энгельсу от 31/V 1873, в кн.: Маркс и Энгельс, Сочинения, т. XXIV, стр. 414). — Поэтому не следует огульно отрицать возможность применения к анализу социальных явлений аппарата типа дифференциальных уравнений, связывающих различные количественные показатели экономии, конъюнктуры ит. п.
Математика и техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как отмечалось в историч. очерке, возникли из непосредственных запросов практики. В дальнейшем развитии М. непосредственное воздействие запросов практики уступает руководящую роль в формировании новых математич. методов и идей влиянию опирающегося в своем развитии на те же запросы практики математич. естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.).
Прямые же связи М. с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математич. теорий к технич. проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения именно новых общих математич. теорий на основе непосредственных запросов техники. Гаусс, руководя геодезическими работами, по этому поводу создает метод наименьших квадратов; изучение многих новых типов уравнений в частных производных впервые начинается с решения технич. проблем (напр. уравнения теории упругости у Навье) и иногда непосредственно инженерами (уравнения пластичности у Сен-Венана); операторные методы решения дифференциальных уравнений развиваются на. почве электротехники (Хевисайд) и т. д.
Далее, по преимуществу под непосредственным воздействием технич. нужд, возникли начертательная геометрия и номография (см.).
Решающую роль технич. задачи, рядом с нуждами астрономии, играли в развитии методов приближенного решения дифференциальных уравнений. Целиком на технич. почве возникли методы приближенного решения уравнений
