«ства цветов», в этом пространстве проводятся «прямые», «плоскости» и т. д. — метод, ставший общепринятым в цветоведении.
Если уже введение n-мерных . пространств позволяет изучать геометрически функции любого числа переменных (подобно тому, как ранее функции одного переменного изображались при помощи кривых на плоскости, а функции двух переменных — поверхностями в пространстве), то более высокие вопросы функционального анализа (теории интегральных уравнений, вариационного исчисления и т. д.) приводят к изучению бесконечно-мерных про-странств, в которых элементами («точками») являются функции, определяются «расстояния» между функциями, рассматриваются бесконечно-мерные «гиперповерхности», лежащие в этих пространствах, и т. д. (см. Метрическое ‘пространство). — Таким образом, геометрич. методы проникают во все отделы М., имеющие в той или иной форме дело с непрерывностью.
Основными самостоятельными геометрич. науками, питающимися всем этим необъятным материалом, являются дифференциальная геометрия n-мерных многообразий в ее различных разновидностях [метрической римановой геометрии (см.) и др.] и топология (см.), изучающая наиболее общие свойства пространств и геометрических фигур в них, именно, свойства, не меняющиеся при непрерывных преобразованиях.
Без полного понимания двух новых тенденций в развитии М. 19 и 20 вв., указанных в начале этого раздела, невозможно охватить современную М. в целом. Не следует, однако, забывать, что эти обобщающие тенденции явились лишь надстройкой над продолжающимся в течение 19 и 20 вв. мощным развитием «классических» частей М. Так, напр., в области дифференциальных уравнений происходит все более тесное переплетение классических вычислительных методов с так наз. качественным исследованием, опирающимся на представления геометрии многомерных пространств (по преимуществу топологических).
История М. в 19 веке. В начале 19 йена происходит новое, чрезвычайно сильное расширение области приложений математич. анализа. К механике и оптике, все •еще остававшимся до сих пор единственными отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата, присоединяются электродинамика, теория магнитизма и термодинамика. В самой механике теперь развиваются основные разделы механики непрерывных сред, из к-рых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости •была создана Эйлером и Лагранжем в 18 в. В качестве основного аппарата этих новых областей механики и математич. физики усиленно разрабатывается теория уравнений в частных производных и, особенно, теория потенциала. В этом направлении работают почти все основные математики начала 19 в., включая Гаусса (1777—1855) и Коши (1789—1857) — двух математиков, в значительной мере определивших дальнейшее развитие М. во всех областях, особенно же Фурье (1768; — 1830), Ампер (1775—1-836), Пуассон (1781—1840), Грин (1793—1841) и Дирихле (1805—59). Позднее на этой же почве, по преимуществу в английской школе, в работах Стокса (1819—1903) и др. создается векторный анализ (см. Векторное исчисление). Быстро — растут и самые математич. запросы техники. В начале 19 в. — это вопросы термодинамики паровых машин (Сади Карно, 1796—1832), технической механики [разрабатываются в тесной связи с дифференциальной геометрией Понселе (1789—1867), Дюпеном <1784—1873) и др.], полета артиллерийских снарядов и т. п.
Во второй половине 19 в. математич; методы проникают почти во все области науки и техники (см. далее главы: М. и другие науки, М. и техника).
Новые математические теории, впервые возникающие в 19 в., появляются частью под давлением новых потребностей практики, в значительной же мере в результате внутренней работы по логическому уяснению и приведению в порядок накопленного материала. Выше были указаны основные идеи этого переустройства основных понятий М., происшедшего в 19 в. (см. также далее гл. Математический метод). Мы ограничиваем нижеследую 378
щий исторический очерк указаниями на моменты возникновения в 19 веке новых направлений математического исследования. О дальнейшем развитии этих направлений см. в специальных статьях, посвященных различным разделам М.
Коши публикует в 1821 и 1823 свои лекции, читанные в Политехнической школе, содержащие строгое изложение теории пределов, теории рядов, определение понятия непрерывности функции и основанное на теории пределов изложение дифференциального и интегрального исчисления. Некоторые дополнения к этому изложению и теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений публикуются позднее. Дирихле отчетливо формулирует определение функции, как совершенно произвольного соответствия, и доказывает изобразимость любой функции с конечным числом максимумов и минимумов рядом Фурье. Работы Коши и Дирихле дали исчерпывающее разрешение всех затруднений и неясностей, связанных с основами анализа и с понятием функции, в тех пределах, в к-рых они волновали математиков 18 в. Чрезвычайно важной задачей, не разрешенной в 18 в., явилось также создание отчетливой теории комплексных чисел. В 1797 была опубликована работа норвежского землемера Весселя, содержавшая геометрич. интерпретацию комплексных чисел. Она осталась, однако, незамеченной. В 1799 Гаусс публикует первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного полинома на действительные множители первой и второй степени). Только в публикациях 1816 Гаусс отказывается от этой маскировки несомненно уже давно известной ему теории комплексных чисел. Тем временем Арган публикует в 1806 теорию комплексных чисел с их геометрич. интерпретацией и доказательством леммы Д’Аламбера, а в 1815 — доказательство основной теоремы, близкое по идее к доказательству Коши (последний опубликовал это доказательство лишь в 1821).
На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего не опубликовал. Общие основы теории были заложены Коши, специально теория эллиптических функций была развита Абелем (1802—29) и Якоби (1804—51).
Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмического подхода 18 в., сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрич. закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой Коши). Этот в известном смысле слова «качественный» и геометрич. характер теории функций комплексного переменного еще усиливается в середине 19 в. у Римана (1826—66). Здесь оказывается, что естественным геометрич. носителем аналитической функции в случае ее многозначности является не плоскость комплексного переменного, а соответствующая «риманова' поверхность» — образование, природа к-рого может быть вполне понятна лишь в рамках нового понимания геометрии, о к-ром говорилось выше. Хотя Вейерштрасс (1815—97) достигает той же общности, что и Риман, оставаясь на почве чистого анализа, дальнейшие исследования Клейна (1849—1925), Пуанкаре (1854—1912), Пикара (р. 1856) и др. все шире пользуются геометрич. методами. На основе теории функций комплексного переменного получает новое направление теория дифференциальных уравнений.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений внимание сосредоточивается на изучении поведения решений в комплексной области (аналитическая теория).
Для уравнений в частных производных Вейерштрассу и С. В. Ковалевской (1850—91) удается на этой почве установить общие теоремы существования и единственности решений.
В алгебре бесплодные попытки предыдущих столетий, направленные на решение в радикалах уравнений пятой и высших степеней, также находят свое окончательное разрешение в создании теорий, переносящих центр тяжести на изучение вместо самих уравнений совсем, новых объектов. Сначала Руффини (1766—1822) в 1799 и более строго Абель в 1826 доказывают неразрешимость в радикалах общего уравнения пятой степени. Далее, Галуа (1811—32) показывает, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением «группы Галуа». Задача общего абстрактного изучения групп ставится Кели (1821—95). О значении теории групп вообще в М. уже говорилось выше. Следует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание теории групп произошло только йосле работ Жордана (1832—1922) в 70 — х гг. От Галуа и Абеля берет свое начало также понятие поля алгебраич. чисел. Исследование полей алгебраич. чисел и особенно целых алгебраич. чисел становится основным предметом алгебраических и теоретикочисловых работ Куммера (1810—93), Кронекера (1823—1891), Дедекинда (1831—1916) и Гильберта (р. 1862). Рядом с возникающей отсюда «алгебраической теорией чисел» в работах Дирихле (теорема о простых числах в арифметической прогрессии) и Римана (связь теоретико-числовых проблем со свойствами функции) начинается «аналитическая теория чисел», т. е. применение к теории
