Лежандр изучают эллиптические интегралы — первый вид не элементарных функций, подвергшихся глубокому специальному исследованию. Иоанн Бернулли, Рикатти <1676—1754), Даниил Бернулли (1700—82), ЭйлериКлеро (1713—65) интегрируют новые типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
Эйлер дает первый метод решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами. Д’Аламбер рассматривает системы дифференциальных уравнений. Лагранж и Лаплас развивают общую теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Д’Аламбер по поводу вопроса о колебании струны сталкивается впервые с уравнением в частных производных. Эйлер, Монж (1746—1818) и Лагранж строят общую теорию уравнений в частных производных первого порядка, а Эйлер, Монж и Лаплас — второго порядка. Уравнение колебания струны и связанное с ним введение в анализ разложения функций в тригонометрич. ряды сохраняет, однако, специальный интерес, так как по его поводу развертывается между Эйлером, Даниилом Бернулли, Д’Аламбером, Монжем и Лагранжем полемика по вопросу о понятии функции (подробнее см. Функция), подготовившая фундаментальные результаты 19 в. о соотношении между аналитическим выражением и произвольным заданием функции. Наконец, новым отделом анализа, возникшим в 18 в., является вариационное исчисление, созданное Эйлером и Лагранжем. Муавр, Даниил Бернулли, Байес (ум. в 1763) и Лаплас на основе отдельных достижений 17—18 вв. кладут начало теории вероятностей (см. Вероятность) как самостоятельной науки.
В области геометрии Эйлер приводит к завершению систему . элементарной аналитической геометрии. Начиная с Ньютона изучаются систематически кривые третьего порядка. Варинг (1734—98) устанавливает ряд свойств алгебраич. кривых любого порядка. Эйлер, Клеро, Менье и Монж создают дифференциальную геометрию пространственных кривых и поверхностей. Проблемы дифференциальной геометрии являются одним из основных источников упомянутого выше развития теории уравнений в частных производных. Ламберт развивает теорию перспективы, и Монж придает окончательную форму начертательной геометрии (см.).
Из нашего обзора видно, что М. 18 в., питаясь в основном идеями 17 в., по размаху работы в смысле количества полученных результатов далеко превзошла предыдущие эпохи. С организационной стороны этот расцвет М. объединялся по преимуществу вокруг академий.
Университеты играли меньшую роль. Отдаленность крупнейших математиков от университетского преподавания возмещалась той энергией, с которой все они, начиная с Эйлера и Лагранжа, пишут учебники и обширные, объединяющие отдельные исследования, трактаты. Новую струю в организацию науки вносит в конце 18 в. французская буржуазная революция. Крупнейшие ученые (Лагранж, Лаплас, Лежандр, Монж) привлекаются к созданию метрической системы мер, связанному с ней измерению меридиана, организованному на государственные средства вычислению новых тригонометрических таблиц и т. д.
Наиболее важным для дальнейшего развития М. оказалось учреждение в 1795 Политехнической школы в Париже, возглавляемой Монжем и сделавшейся для Франции в начале 19 века основным рассадником математической культуры.
Математика как наука о количественных и пространственных формах действительного мира во всей их общности.
Определение М., поставленное в заголовке предыдущего раздела, было еще в целом правильным в применении к состоянию М. в первой половине 19 в. Однако уже с начала этого века начинают накопляться отдельные факты, выходящие за пределы старых концепций. — Во второй половине 19 и в 20 вв. удельный вес новых теорий, не вмещающихся в рамки прежнего определения, становится столь значительным, что понимание задач М. в целом становится возможным лишь на почве нового, более широкого определения ее предмета. Это обусловлено двумя обстоятельствами: 1) расширение круга количественных отношений, изучаемых М.; величины и числа и зависимости между ними становятся лишь частным случаем рассматриваемых здесь количественных форм действительного мира; 2) расширение области применимости геометрии, методов и все более тесное переплетение геометрии с остальной М., благодаря чему исчезает существовавшее в предыдущую эпоху неравнопра 374
вие — геометрия становится теперь неотъемлемой частью «чистой математики». Нашей ближайшей задачей является показать эти две новые тенденции в развитии М. на ряде примеров. — Количественные формы и отношения, в отличие от качественных, характеризуются своим безразличием к особому характеру тех предметов, к-рые обладают этими формами или связаны этими соотношениями. Поэтому эти формы и отношения и могут быть совершенно оторваны от их содержания, как от чегото безразличного для дела (см. указание Энгельса, приведенное в начале статьи). Так, число остается одним и тем же независимо от того, численность какого рода предметов оно выражает, функциональная зависимость у = =аж2 + &ж+с остается одной и той же независимо от того, что обозначают х и у. Можно также сказать, что количественные формы и отношения суть чистые формы и отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от которой они отвлечены, только то, что содержится в их определении. Наиболее удобный для анализа пример новых количественных форм, введенных в рассмотрение М.
19 века, доставляет нам понятие группы (см.), т. е. произвольной системы объектов, для к-рых определено одно действие, обладающее основными свойствами сложения или умножения обычных чисел.
Система объектов, заданная вместе с нек-рым действием, к-рое ставит в соответствие любым двум объектам А и В системы вполне определенный третий объект системы С=АВ, называется группой, если она удовлетворяет следующим условиям: 1)' для любых объектов системы А, В, С справедливо равенство А (ВС) — (АВ) С; 2) существует такой объект системы Е, что для любого объекта системы А справедливо равенство АЕ=А, и 3) существует такой элемент X, что АХ=Е. Все рациональные числа образуют группу, если под групповым действием понимать действие сложения (при этом за элемент Е следует взять ноль). Все рациональные числа за исключением ноля образуют группу, если под групповым действием понимать действие умножения (при этом за элемент Е следует взять единицу). Уже из этих примеров видно безразличие понятия группы к конкретному смыслу входящего в определение группы действия.
Оказалось, что общее изучение произвольных групп может составить предмет весьма содержательного отдела алгебры — теории групп, — имеющего огромную область применений: группы подстановок весьма существенны в самой алгебре, где к их изучению сводится вопрос о разрешимости уравнений в радикалах; движения плоскости или пространства образуют группу; в частности дискретные группы движений пространства составляют основу классификации форм кристаллов (см. Кристаллография); более общим образом вся теория геометрии, преобразований оказалась подчиненной понятию «группы преобразований» и т. д. Здесь мы имеем дело с понятием, проникшим во все отделы М. и не мало содействовавшим осознанию на новой почве единства разросшейся системы отдельных математич. дисциплин.
В группах, вообще говоря, сохраняется лишь небольшая часть свойств обычных чисел.
Все основные алгебраич. свойства чисел сохраняются в более специальных алгебраических образованиях, именно, в алгебраических полях (см. Поле). Понятие алгебраич. поля также охватывает не только системы, составленные из чисел. Существенны, например, поля вычетов (см.) по какому-либо простому модулю. Таким образом, хотя число сохраняет исключительное положение в М., числа теперь уже не составляют ни единственного ни логически пер-
