теперь известными по именам математиками, оставившими после себя, хотя бы и дошедшие до нас лишь в отрывках, сохраненных позднейшими комментаторами, математич. сочинения. Это изменение характера математич. науки объясняется более развитой общественнополитической и культурной жизнью греческих государств, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. Возникновение независимой от религии философской мысли привело к потребности в рациональном объяснении явлений природы, что поставило перед М. новые задачи.
Греки считали себя в области арифметики учениками финикиян, объясняя высокое развитие арифметики у этих последних потребностями их обширной торговли, начало же греч. геометрии традиция связывает с путешествиями первых греч. геометров и философов — Фалеса Милетского (конец 7 — нач. 6 вв.) и Пифагора Самосского (ок. 580 — ок. 500) — в Египет. — В области геометрии задачи, к-рыми занимались греч. геометры 6—5 вв. до хр. э. после усвоения египетского наследства, также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и навигации. Таковы, напр., вопросы о соотношении между длинами катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника (выражаемом «теоремой Пифагора»), о соотношении между площадями подобных фигур, о квадратуре круга, трисекции угла и об удвоении куба. Новым, однако, является подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь приближенными, эмпирически найденными, решениями, греческие геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы. Теорема Пифагора приводит их к доказательству несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Испробовав элементарные средства решения задач о трисекции угла и квадратуре круга, Гиппий из Элиды ок. 420 до хр. э. решает эти задачи при помощи построения специальной трансцендентной кривой. Первый систематический учебник геометрии приписывается Гиппократу Хиосскому, жившему в конце 5 в. К этому времени несомненно уже существует разработанная система геометрии, не пренебрегающая такими логическими тонкостями, как доказательство случаев равенства треугольников и т. п. Отражением в М. первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось едва ли не самое поразительное достижение геометрии 5 в. — разыскание всех пяти правильных многогранников — результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными камнями мироздания (это открытие приписывается Тимею из Локр). — В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметические прогрессии [в частности 1+3 + 5 + ...+ + (2п — 1)=п2]; изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое). Более изысканные вопросы теории чисел (вроде разыскания «совершенных» и «дружественных» чисел) связываются в школе Пифагора с мистическим магическим значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геометрии, теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», т. е. троек чисел, удовлетворяющих соотношению а2+Ь2=с2 (полное решение задачи о разыскании всех таких троек приписывается Платону).
Уже во второй половине 5 в. до хр. э. философская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах, где находят себе приют ученые с различных концов греч. мира. Здесь протекает основная деятельность упоминавшихся выше Гиппия из Элиды, Гиппократа Хиосского и Тимея из Локр. — В 4 в., в обстановке политич. реакции и упадка могущества Афин, центром математич. исследований становится платоновская «Академия». Это — эпоха известного подчинения М. ограничениям, выдвинутым идеалистич. философией. Наука о числах строго отделяется здесь от «искусства счисления», а геометрия — от «искусства измерения». Опираясь на существование несоизмеримых отрезков, площадей и объемов, Аристотель (384—322) налагает общий запрет на применение арифметики к геометрии (Aristoteles, Analyt. post. 1, 7. 75, а). В самой геометрии проводится строгое ограничение построениями, осуществимыми при помощи циркуля и линейки, и найденные в эту же эпоху решения «Делосской задачи» об удвоении куба объявляются лежащими вне геометрии (см. высказывания, приписываемые Платону у Плутарха, Quaest. Conviv., VIII, 92, 1). Заслугой платоновской школы является начало сознательного изучения методов математич. доказательств. Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 в. можно считать связанные с той же тенденцией к логическому анализу основ геометрии исследования Эвдокса (ум. ок. 355 до хр. э.), разработавшего теорию пропорций и давшего первое доказательство теоремы об объеме пирамиды (известной в качестве эмпирического фактаегиптянам с начала 2 — го тысячелетия до хр. э., см. выше).
По поводу этого доказательства им было формулировано общее основное допущение (называемое часто аксиомой Архимеда), лежащее в основе метода исчерпывания (см. Исчерпывания метод). — В стороне от основного тече 364
ния М. 4 в. до хр. э. следует отметить начало математич. разработки механики у Архита Тарентского (ок. 430—365 до хр. э.), полководца и автора одного из упоминавшихся решений задачи об удвоении куба. в) Эллинистическая и Римская эпоха. С 3 в. до хр. э. на протяжении семи столетий (до сожжения патриархом Феофилом Александрийской библиотеки в 389) основным центром научных и, особенно, математич. исследований . является Александрия. Здесь, в обстановке объединения различных мировых культур, больших государственных и строительных задач и невиданного ранее по своей широте государственного покровительства науке, греческая М. достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греч. образованности и научных интересов по всем концам эллинистического и римского мира, Александрия с ее «музеем», являвшимся первым научно-исследовательским институтом в современном смысле слова, и ее библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие научные силы стекались сюда.
Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. — Наибольшей напряженностью математич. творчества отличается первый век Александрийской эпохи (3 г. до хр. э.). Этому веку принадлежат Эвклид, Архимед (ок. 287—212), Эратосфен (276—195?) и Аполлоний (265—170). Сложные гидротехнич. сооружения (напр. Архимедов винт), требования военной техники (метательные машины Архимеда), запросы мореплавания (исследования Архимеда о равновесии и устойчивости плавающих тел), развитие геодезии и картографии (определение Эратосфеном размеров земного шара), а также развитие точных астрономич. измерений и вычислений (Эратосфен находит Юлианское приближение к длине года=3651/4 дней), наконец, развитие механики и оптики — все это поставило перед М. множество новых задач. 3 век до хр. э. является периодом плодотворного соединения соответствующего этим требованиям стремительного развития М. вширь с глубиной теоретической мысли. В частности возникший из прикладных нужд интерес к приближенному измерению величин и приближенным вычислениям не привел математиков 3 в. к отказу от математич. строгости. Все многочисленные, производившиеся ими, приближенные извлечения корней и даже все астрономич. вычисления проделывались с точным указанием границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно доказанных неравенств 3±d<P<3^d
(где Р — длина окружности с диаметром d). Это отчетливое понимание того, что приближенная М. не есть «нестрогая» М., было позднее надолго забыто.
В своих «Элементах» Эвклид (см.) собирает и подвергает окончательной логич. переработке достижения предыдущего периода в области геометрии, дав этим на тысячелетия образец строго систематического изложения геометрии. Вместе с тем в «Элементах» же Эвклид впервые закладывает основы систематич. теории чисел, доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Здесь же впервые суммируется геометрич. прогрессия. Наконец, «Элементы» содержат в шестой и десятой книгах своеобразную геометрич. замену алгебры, позволявшую в геометрической форме не только решать квадратные уравнения, но и делать довольно сложные преобразования иррациональных выражений. В духе этой же «геометрической алгебры» Архимед формулирует свою теорему о сумме квадратов членов арифметич. прогрессии. — Из геометрических работ Эвклида, не вошедших в «Элементы», и работ Аполлония наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание законченной теории конических сечений (см.). Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение различнейших площадей и объемов (в том числе площадей параболического сегмента и поверхности шара, объемов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (напр. шарового сегмента и сегмента параболоида). «Спираль Архимеда» является одним из примеров изучавшихся в 3 в. до хр. э. трансцендентных кривых. — В течение следующих столетий, несмотря на дальнейший рост объема научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины. В астрономии это выразилось в том, что, несмотря на возросшую точность наблюдений и усовершенствование математического аппарата, вполне усвоенные лучшими умами 3 в. идеи Аристарха Самосского о движении Земли вокруг Солнца и о расстояниях до неподвижных звезд были забыты. В М. зачатки анализа бесконечно-малых, содержавшихся в эвристических приемах Архимеда (сообщенных им в специальном сочинении «О методе» с указанием на их нестрогость — в окончательном изложении он считал нужным заменять их методом исчерпывания), не получили дальнейшего развития.
Основным дефектом всей М. древнего мира было отсутствие понятия иррационального числа. Мы уже видели, что это обстоятельство привело философию 4 в. до хр. э. к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрич. величин. В действи-
