показывает, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корней из членов первой соответствуют сложение, вычитание, умножение и деление членов второй, т. е., что члены второй суть Л. членов первой. Эти зависимости отчасти были подмечены еще Архимедом и были хорошо известны математикам нового времени, напр. Ш. Шюке (1484), М. Штифелю, сформулировавшему их в 1544, и другим, не замечавшим лишь возможности их использования для вычислений. Для этого использования необходимо было, однако, чтобы члены геометрич. прогрессии следовали по величине достаточно близко друг за другом. Оба изобретателя таблиц Л., работавшие независимо один от другого и почти одновременно, шотландский любитель математики Джон Непер (J. Neper, 1550—1617) и немецкий механик Иобст Бюрги (J. Burgi, 1552—1632) сознательно стремились к заполнению этого пробела. Однако пути обоих ученых оказались различными, и идеи Непера были значительно глубже, чем узкопрактич. устремления Бюрги.
Рис. 5. Непер близко подошел к пониманию Л. как непрерывной величины. Он представил отношение Л. и чисел с помощью двух движущихся прямолинейно и параллельно точек. Одна из них, движется равномерно, исходя из другая, начиная движение из перемещается пропорционально замедленно, со скоростью, пропорциональной ее расстоянию до (рис. 5). Отрезок берется равным Неперов логарифм числа равен В нашем обозначении
( — время) и
Так как при , то Неперов Л. числа равен Когда числа образуют геометрич. прогрессию, то Неперовы Л. их составляют убывающую арифметическую, в частности Л. равен нолю, а Л. положительных чисел, меньших , положительны. Особенности Неперовых Л. объясняются тем, что он составлял таблицы Л. тригонометрич. величин. Так как синус 90° принимался за и на него часто приходилось умножать и делить, то его Л. выгодно было иметь равным нолю. Нередко встречающееся утверждение, что Неперовы Л. совпадают с натуральными, совершенно неверно. Непер вообще не имел понятия об основании системы Л., Неперовым же Л. соответствуют Л., вычисленные при основании, очень близком к — Ближе к натуральным — логарифмы Бюрги, им соответствует основание, равное что отличается от лишь в пятом десятичном знаке. Таблицы Бюрги («Arithmetische und geometrische Progress-Tabulen», 1620) были собственно таблицами антилогарифмов, т. е. давали значения чисел, соответствующие равноотстоящим Л. — Сочинения Непера «Mirifici logarithmorum canonis descriptio», 1614, и «Mirifici logarithmorum canonis construction 1619, содержащие таблицы и описание способов их построения, встречены были с огромным интересом. Сразу же стали появляться новые таблицы и работы в этой области. Еще по совету Непера, Г. Бриггс (Н. Briggs, 1556—1630) вычислил таблицы десятичных Л. для чисел от 1 до 20.000 и от 90.000 до 101.000 с 14 десятичными знаками (1617 и 1624). А. Влакк (A. Vlack) заполнил сохранявшийся пробел в своей десятизначной таблице Л. чисел от 1 до 100.000 (1628); он же издал посмертные тригонометрич. таблицы Бриггса (1633), интересные в том отношении, что в них проведено десятичное деление градусов. С тех пор таблицы Л. вычислялись с различным числом знаков неоднократно. При этом долго менялась их структура (напр. Р. Р. появляются лишь в 1705, расположение тригонометрич. таблиц установилось в конце 18 в.) и исправлялись отдельные ошибки (у Влакка их еще было 173, у знаменитого О. Vega в 1783 — пять, у Sang в 1871 — две), первые безошибочные таблицы выпустил Бремикер (Bremicker) в 1857. — Первый шаг в теоретич. изучении Л. сделали Григорий из Сен-Винцента (1647) и де Сараза (de Sarasa, 1649), обнаружившие связь натуральных Л. и гиперболич. площадей. Еще важнее было связанное с этим результатом открытие бесконечного ряда (1), выпавшее на долю Н. Меркатора (N. Mercator, 1667). Ряд (2) дал в несколько ином виде Дж. Грегори (J. Gregory, 1668), ряд (3) астроном Э. Галлей (Е. Halley, 1695). — Ученым 17 в. было чуждо понимание Л. как показателя степени определенного основания. Непер, напр., определял Л., как «равностоящие числа, сопряженные с пропорциональными величинами», т. е. членами геометрич. прогрессии. Рассмотрение Л. как самостоятельных величин, получающихся в итоге действия — логарифмирования, выпало лишь на долю 18 в. Первое современное определение Л. встречается у Гардинера (W. Gardiner, 1742). Очень многим обязано учение о Л. знаменитому Эйлеру. Он ввел понятие о логарифмировании как второго рода действии, обратном возведению в степень, он же положил твердое начало изучению Л. в комплексной области, открыл многозначность и периодичность обобщенных Л. (1748) и разрешил ряд парадоксов, указанных еще Иоганом Бернулли и Лейбницем. Так называемые Гауссовы Л. были открыты в 1803 Леонелли (Z. Leonelli). — Слово «Л.» предложил сам Непер, произведший его от греч. logos (отношение) и arithmos (число). Термин «натуральный логарифм» принадлежит Меркатору, «основание» — Эйлеру. Понятие модуля имеется у Меркатора, слова «характеристика» и «мантисса» ввели соответственно Бриггс и Эйлер. Символ Л. — результат сокращения этого слова — встречается почти одновременно с появлением первых таблиц у разных авторов.
Лит.: Успенский Я. В., Очерк истории логарифмов, П., 1923; Цейтен Г. Г., История математики в 16 и 17 веках, М. — Л., 1933; Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, т. I, 3 изд., М. — Л., 1935; Пржевальский Е., Пятизначные таблицы логарифмов, 19 изд., М., 1936; Tropfke J. Geschichte der Elementar-Mathematik, t. II, 2 Aufl., Berlin — Leipzig, 1921.
ЛОГАУ (Logau), Фридрих, фон (1604—55), немецкий поэт-сатирик. Рано освободившись от влияния Опица, Логау в 1638 открыто выступил (сб. «Zweyhundert teutscher Reimsprüche») против долгой и тяжелой 30-летней войны (см. Германия, Исторический очерк). В своих эпиграммах Логау продолжал нападки на все иностранное в Германии: моду («Französische Kleidung»), язык («Französische Sprache»), бичевал лицемерие церковников («Heuchler»), развращенность «придворных ослов и куртизанок». Злободневно-острая эпиграмма Л. по достоинству была оценена Лессингом, к-рый вместе с Рамлером обработал и издал 12 книжек эпиграмм Л. (Lpz., 1751).
ЛОГАЭДЫ, в античной метрике смешанные размеры, объединяющие хореи, ямбы и дактили (см.). В русской метрике Л. малоупотребительны и обозначают паузированные трехсложные стихи, в к-рых, благодаря пропуску отдельных безударных слогов, возникает чередование ямбов и дактилей.
ЛОГИКА. Определение и предмет логики в диалектическом материализме. Логика — наука об общих «законах развития „всех природных и духовных вещей“» (Ленин, Философские тетради, Москва, 1936, стр. 94), всего конкретного, объективного мира и познания его. Диалектико-материалистическая Л., в противоположность формальной логике (см.), не является учением о внешних и бессодержательных формах мышления, но представляет собой итог, вывод познания объективного мира общественным человеком. Л., совпадая с диалектикой и теорией познания, основанной на теории отражения, дает суммированное знание в полном объеме его исторического развития. Лишь «она одна (диалектика. — Ред.) представляет аналог и, значит, метод объяснения происходящих в природе процессов развития для всеобщих связей природы, для переходов от одной области исследования к другой» (Энгельс, Старое предисловие к «Анти-Дюрингу», в кн.: Маркс и Энгельс, Соч., т. XIV, стр. 338). Как аналог действительности, как последовательно-научная теория отражения субъективная диалектика или диалектическая Л. не может содержать в себе законов, принципиально отличных от законов объективного мира. Совпадая по своему содержанию с объективной диалектикой развития природы и общества, законы диалектической Л. отличаются от нее лишь по форме. Критикуя реакционную теорию Богданова о тождестве бытия и сознания, Ленин писал, что Марксом открыты законы изменений в объективном мире, «показана в главном и в основном объективная логика этих изменений и их исторического развития» (Ленин, Соч., т. XIII, стр. 266). Охва-
