КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — КОНИlim hf (жо +
ь = J* f (x) dx.
a
a<xo+mhb
Важную роль при вычислении сумм играет fe — 1
формула Эйлера, выражающая
2 ^(^4-^6)
тп=0
через интеграл от <р(х) и через значения (р(х) и ее производных при х = а и х = а + kh = Ь: fe-l ь
<p(a + mh) = i J <p(x) dx-j [?> (Ь) — у («)] + m=0 а
+ ^[ч>'(Ъ) -?>'(»)]-^[4>'"(b) -<p'"(a)] + ...
J
Полагая здесь, например, у (х) =, а = 100, h = l, к =900 (6 = 1000) и ограничиваясь написанными членами формулы, получаем:
"ioo
101 + • • • + g^r = In 10 — у
~ 12 \
10002 “ 1002 }
720 \
— Joo ) +
10004 “ 1004 )
= 2, 30709334291072.
В К. р. и. мы встречаемся еще с очень важной задачей, а именно — с задачей решения урав ненийв конечных разностях, подобно тому как мы встречаемся в анализе с задачей решения дифференциальных уравнений.
Уравнением в конечных разностях называется уравнение вида F[x, bf(x),..., Д7(5С)]=О.
Путем замены здесь разностей через значения функции: &f(x)=f(x + Ю-f (ж), Д2/(Ю=/(ж+2Ю — 2/(я+Ю + 4 — f (s), ..., &nf(x) = f (х + nh) — f [х + (п — 1) Ю+ + ... + t(x), это уравнение приводится к виду: Ф[ж, f(x), f(x + h), ...,/(ж + пЮ] = 0.
Последнее уравнение выражает связь между значением функции f (х + nh) и п предшествующими значениями: f (ж), f (x+h), ..., f[x + (n — l) h]. К этому разряду относятся все т. н. рекуррентные формулы (см.). Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами: f (х + n) + aj (х+п — 1) + ... + а„/(я) = 0 (ах, а2, • • •, ап~постоянные числа). Чтобы решить такое уравнение, находим корни Л2, ..., так называемого характеристического уравнения: Я” + + ... + ап = 0. Тогда общее решение нашего уравнения представится в виде: = + С2Ц + ... 4 — СпХ-(С19 С2, ..., СЛпроизвольные постоянные; мы предполагаем здесь, что среди чисел Z1} Л2,..., нет равных). Так, в случае уравнения f(#4—2) — — f (х 4—1) — f (х) = 0 имеем характеристическое уравнение: Л2 — Л — 1=0 с корнями — lj= 5, и, следовательно, общее решение имеет вид: f(x) = Сг ( — ^) Я + с2 (-^4р-ГЗдесь ясно видно сходство с линейными дифференциальными уравнениями. Во' многих случаях целесообразно бывает, заменяя в дифференциальном уравнении (обыкновенном или с частными производными) производные через разности (приближенно), переходить к урав 944
нению в конечных разностях и затем решать это последнее. Пусть, напр., нужно найти решение U(х, у) уравнения Лапласа 4+ “^ге=0> принимающее заданные значения в точках контура квадрата 0<ж<1, 0< у^Л.
Разобьем квадрат на т2 мелких квадратиков, разделив каждую его сторону на т равных частей, и обозначим значение U в точках (^Г ’ т") чеРез Из них значения Uibk, соответствующие точкам, лежащим на сторонах основного квадрата, заданы, а значения соответствующие (т — I) 2 вершинам мелких квадратиков, лежащим внутри основного квадрата, требуется определить. Заменяя далее — лд%и в уравнении Лапласа и д^и в каждой~ из точек ( ), лежащих внутри основного квадрата, через ^»+1>7г~Uj — iflc O’
и Ujtk+i ~
+
t
S’
(приближенно), получим (m — l) 2 линейных алгебраич. уравнений для определения (ш — 1) 2 неизвестных значений UifkНыл 44 — Ui__14k 4 — и^+1-~4и^к = 0 (i = 1, 2,..., т — 1; к = 1, 2, ..., т — 1).
К. р. и. развивалось параллельно с развитием анализа. Первые следы его можно найти в трудах Ферма, Барроу и Лейбница. В 18 в. оно приобретает характер самостоятельной математич. дисциплины (Ньютон, Тейлор, Стирлинг, Эйлер, Лагранж, Лаплас). Впервые систематическое изложение опубликовано Тейлором в 1715 в «Methodus i ncr ementor um directa et inversa». В 1730 этому вопросу посвятил свой труд Стирлинг «Methodus differentialis, sive tractatus de sommatione et interpolatione serierum infinitorum». Дальнейшее развитие этой дисциплины связано с именами Гаусса, Бесселя, Коши, Чебышева, Эрмита, Маркова, Пуанкаре, Норлюнда и др. Ценные результаты принадлежат советским математикам (А. О. Гельфонд, В. Л. Гончаров и др.).
Лит,: Марков А., Исчисление конечных разностей, 2 изд., Одесса, 1910; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, ч. 1, М. — Л., 1936; Гончаро в В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, М. — Л., 1934, [дана лит.]; Стефенсен И. Ф., Теория интерполяции, пер. с англ., М. — Л., 1935; В о о 1 е О., Treatise on the calculus of finite differences, 3 ed., L., 1880; NOrlund N. E., Vorlesungen tiber Differenzenrechnung, в*, А. Маркушевич,
КОНИ, Анатолий Федорович (1844—1927), либеральный юрист, литератор и общественный деятель. Родился в Петербурге, в интеллигентной семье. По окончании юридич. факультета Моск, ун-та (1865) К. поступает в судебное ведомство (1867), проявляет себя способным организатором новых учреждений (Казанский судебный округ) и незаурядным криминалистом, быстро выдвигается как блестящий судебный оратор. К. был умеренным либералом — «шестидесятником», верным хранителем судебных уставов (см.). В 1879 петербургский суд под председательством К. вынес оправдательный приговор по делу Веры Засулич (см.). После этого К. пришлось уйти с этого поста, он был назначен в Сенат (1885), получив преподавание правоведения в Александровском лицее. «Судебные речи» К. выдержали 4 издания (СПБ, 1888—1905). В 1900 К.
