переменной, интегрирование по частям, а также т. н. дифференцирование по параметру под знаком интеграла (1697). Лейбницу также принадлежит в основном известный прием интегрирования рациональных дробей разложениями на простейшие дроби с помощью неопределенных коэффициентов (1702—03).
18-й век. В конце 17 и 18 вв. область приложения интегрального исчисления необычайно возросла. С его помощью изучались развертки кривых, каустические кривые, встречающиеся в оптике, ортогональные траектории, цепная линия; его применяли в общих вопросах теории рядов, в задачах механики и при решении др. задач. В результате от И. и. начали отпочковываться новые математические ветви. Таковыми были: заложенное Я. Бернулли (1654—1705) вариационное исчисление, теория Эйлеровых функций, учение об эллиптических интегралах, породившее в следующем веке теорию эллиптических функций (см. Эллиптические интегралы и функции). К первым попыткам вычисления интегралов от комплексных выражений или интегралов между мнимыми пределами (Я. Бернулли, Эйлер, Лаплас) восходит теория функций комплексного переменного (см.). — Основные работы выпали на долю школы, основанной Лейбницем, хотя и последователям Ньютона принадлежали ценные открытия. Работавшие в тесном научном контакте с Лейбницем Я. и И. Бернулли и гениальный ученик последнего Л. Эйлер (1707—83) особенно содействовали прогрессу И. и. Основные итоги деятельности 80 лет были подведены Эйлером в трехтомном «Основании интегрального исчисления» (1769—70), содержащем по неопределенному интегрированию большую часть того, что излагается в современных курсах анализа. Наиболее важными нововведениями явились криволинейные и кратные интегралы. Криволинейный интеграл впервые встречается в 1743 у А. Клеро (1713—65). Двойные интегралы были построены Эйлером (1770). Тройные интегралы немедленно вслед за тем (1772) ввел Ж. Лагранж (1736—1813). В основе И. и. 18 в. лежало попрежнему отыскание первообразной. Стоя в принципиальном отношении на той точке зрения, что И. и. есть исчисление некоторых сумм, Эйлер находил, что работать удобнее и плодотворнее вообще с Jf(x) dx просто как с функцией, дифференциал к-рой есть f(x) dx. Введение знаков Я. Бернулли и Л. Эйлером для логарифма, синуса, косинуса и др. элементарных функций и выделение нескольких особо часто встречавшихся функций в группу т. н. элементарных привели к постановке новой проблемы неопределенного интегрирования. В эпоху Ньютона интеграция в тех случаях, когда интеграл не выражался конечным алгебраическим образом, сводилась к отысканию бесконечного степенного ряда, позволявшего получать приближения с любой степенью точности, и в И. и. интересовались, гл. обр., возможностью конкретного вычисления интеграла для нек-рого значения аргумента. В эпоху Эйлера возникает проблема интегрируемости функции f(x) в конечном виде, т. е. через комбинацию конечного числа элементарных функций, и много усилий отдается на исследование способа приведения более сложных интегралов к более простым; конечно, при этом развивают (особенно Эйлер) и методы приближения бесконечными рядами и произведениями новых трансцендентных функций, порождаемых И. и. — По приближенному исчислению определенных интегралов важные работы были сделаны в Англии; в частности, Т. Симпсон (1710—61) вновь открыл и опубликовал носящую его имя формулу, известную, однако, еще Дж. Грегори в 1668. — В 18 в. устанавливаются и правила вычисления определенных интегралов. Эйлер уже говорил, напр., об «интегрировании, распространяющемся от х= 0 до х=1» (1771), и употреблял символ §Pdx & J • Термин
«определенный интеграл» почти тогда же (1779) был предложен П. Лапласом (1749—1827), понимавшим под ним «интеграл, взятый от одного установленного значения переменной до другого», и обозначавшим его (1773) так: Современный символ определенного инb теграла J*/(x) dx был предложен ок. 1819—22 Ж. Фурье а (1768—1830). Основоположники И. и. и их продолжатели в 18 в., несмотря на массу открытий в этой области, не смогли его логически обосновать. Применявшиеся определения исходных понятий не отличались подлинной строгостью. Это обстоятельство обусловливалось наличным материалом математики, не ставившим еще целого ряда возникших позднее проблем существования и ограничительных условий, связанных с вопросом о непрерывности функций. Однако, к концу рассматриваемого периода ходячие идеи об исходных понятиях уже начали препятствовать дальнейшей работе, что вскоре и привело к существенной реформе И. и., выпавшей на долю 19 в.
(см. Интеграл).
Лит. см. при ст. Дифференциальное исчисление. Кроме того: Поссе К. А., Курс интегрального исчисления, 2 изд., М. — Л., 1935; Курант Р., Курс дифферен 600
циального и интегрального исчисления, ч. 1—2, М. — Л., 1931; Гарди Г., Интегрирование элементарных функций, М. — Л., 1935; Скарборо Дж. Г., Численныеметоды математического анализа, М. — Л., 1934; Занден Г., Элементы прикладного анализа, М. — Л., 1932; Цейтен Г. Г. (Сбтен X.), История математики в древности и в Средние века, М. — Л., 1932; егоже, История математики в 16 и 17 вв., М. — Л., 1933; Тимченко И., Исторические сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории аналитических функций, «Записки математического отделения Новороссийского общества естествоиспытателей», Одесса, 1892—99, тт. XII, XVI, XIX; Wieleitner Н., Geschichte der Mathematik, [t. ] II, Berlin, 1923 (Sammlung G6schen [875]); Peirce В. O., A short table of integrals, Boston, 1910.
ИНТЕГРАЛЬНЫ E ИНВАРИАНТЫ, впервые введены в математику Пуанкаре (см.). Пусть дана система дифференциальных уравнений = г = 1, 2, п. (1) Решение этой системы уравнений представляет собой систему функций = я£), г = 1, 2, ..., п, (2> зависящих от t и от «начальных условий», т. е. от значений х$, ..., к-рые принимают значения®!, х2, ..., хп при t = t0, где t0 — нек-рое «начальное значение» независимого переменного t. Если рассматривать ®2, ..., как координаты точки Ро в n-мерном пространстве Еп, a ®i, х2, ...» хп — как координаты точки Р, (зависящей от t) того же пространства, то уравнения (2) определяют преобразование Pt = FdP0) (П пространства Еп в самого себя. Пусть е0 — некоторое множество точек (в простейшем случае — нек-рый объем) пространства Еп. Обозначим через et множество точек, получающееся из преобразованием Ft. Например, если уравнения (1) являются уравнениями движения частиц жидкости в трехмерном пространстве, то et обозначает тот объем пространства, в который перейдут к моменту времени t частицы жидкости, находившиеся в момент времени t0 в объеме е0. Если q (®х, х2, t) есть плотность жидкости в момент времени t в точке с координатами х19 х2, х8, то, очевидно,
fffe (®Ь ^2, to) ^Х1
&Х* =
% ^Х19 Х*’ Х*’^
dX* dX3'
et Плотность q дает нам первый пример И. и.
Вообще функция M(xli х2, ..., xnt t) называется И. и. n-го порядка, если для всех t и любого объема е0 J* J* ... J* M(®i, х2, ..., ®n, tQ) dx1dx2... dxn = «о =Л х2,..., Xfi, t) dx! dx2... dxn.
et При p <Zn И. и. p-того порядка называется интеграл, распространенный на р-мерное многообразие е0, сохраняющий свое значение при переходе от е0 к многообразию et (каково бы ни было t). В частности, криволинейный интеграл j* (MidXi. + M2da? 2 + ... + Мп<2жя) (3) называется И. и. первого порядка, если он сохраняет свое значение при замене кривой Со на кривую Ct (каково бы ни было t). Если криволинейный интеграл (3) сохраняет свое зна-
