ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕПростой геометрической иллюстрацией ь
J*f(x) dx служит площадь криволинейной трапеfl ции ABCD, ограниченная линией у=f(x), отрезком [а, &] оси Ох и ординатами в точках а и Ь 0/ (рис. 2). Часто переход к преум У / делу в интегральной сумме долог или затруднителен. Удобнее вычислять определенные интегралы с помощью неопределенных, для чего необходимо знать какую-либо первообразную функцию F(x) для подинтегральной функции / (ж).
Связь между определенным интегралом и первообразной дается тогда формулой а ______________ _ =F(&)=F(a). HaОх^к,..... хнхг.. хп-а________________________________ а Рис. 1.
данной в декартовых координатах уравнением y=f(x), длина дуги между точками х = а и ъ ______ х = Ъ выражается интегралом J*j/ 1 + у'2 dx. а
Объем тела вращения кривой y = f(x) вокруг оси Ох, между теми же точками а и Ъ, выраь жается интегралом л J*y*dx, а поверхность теfl ъ ______ ла вращения — интегралом 2л Jy^l 4 — у'2 dx. а
Применение определенных интегралов при решении указанных задач достигается потому, что во всех этих задачах возможно составление интегральной суммы и нахождение ее предела при безграничном увеличении числа слагаемых. Выше был разобран частный пример вычисления площади, ограниченной кривой у = х2 (рис. 1), выражающейся интегралом а
пример, J x2dx — о
дЗ= -g, ибо если f(x) = x2, то первообразная ос® F (х) = -g-. — Некоторые определенные интегралы вычисляются специальными методами. На+о° __ пример, известно, чтоj, e~~x2dx=^, в то вре — со мя как неопределенный интеграл J*е-*2 dx не выражается в элементарных функциях. Когда точное определение интеграла не удается, употребляют т. н. формулы механическихквадратур (см.).
Это — приближенные формулы, заменяющие интеграл через нек-рые конечные суммы, дающие лучший результат, чем пользование конечной интег — d ральной суммой. Такова, Рис. 2. напр., формула Симпсона.
Отрезок [а, &] делят на 2п равных частей в точках ж0 = а, xlt ж2,, х2п — 1 > х2п = находят, что ь ff(x) dx {f(x0) + f(xin) + 2 [f (®.) + а
о
Двойным интегралом функции двух независимых переменных f (х, у), распространенным на прямоугольную область С плоскости Оху, ограниченную прямыми у = с, y = d, х = а и. х=^Ъ, называют выражение, получающееся, если сперва проинтегрировать f (х, у) в пределах от с до d, считая у переменной интеграции, а х — постоянным, затем этот результат проинтегрировать в пределах от а до Ъ, считая переменной интеграции х, а у — постоянным. Этот двойной интеграл обозначают ъd символомJ J f (х, у) dxdy, или J J f (х, у) dx dy; С
ас первая интеграция производится по переменной, дифференциал которой стоит вовне и между пределами, стоящими у внутреннего знака ъd интеграла. Таким tобразом, J*J* f(x, y) dxdy = а с Л b Rd = J J*f(x, y) dy dx. Геометрически этот интеа Lc -> грал выражает объем V цилиндрического тела с образующими, параллельными оси Оя, ограниченного поверхностью # = f(x, y) и прямоугольной областью С плоскости Оху (рис. 3); Кратные
интегралы.
+ f(xi) + ... + ffazn-zJ] + 4 [/(Xj) + f(x3) + ... 4 — Формула Симпсона, абсолютно точная для многочленов третьей и низших степеней, дает для многочленов высшей степени хорошие приближения и тем лучшие, чем мельче подразделения оси Ох. Формулы механических квадратур можно применять и тогда, когда известны лишь отдельные (для приведенной формулы — равноотстоящие) значения/(ж0), /(жх),..., а аналитическое выражение функции не известно.
С помощью определенных интегралов решается большое число задач геометрии, механики, физики: вычисление площадей, ограниченных плоскими кривыми; объемов тел; длин кривых; центров тяжести; моментов инерции; пути тела по данной скорости; работы, производимой силой; действия электрического тока и много других. Так, напр., для кривой, за в случае f (х, у) = 1 он численно равен площади области С. Если разбить область С прямыми, параллельными осям Ох и Оу, на прямоугольники с площадями As = bx • &у, то произ-
