ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕных условий задачи. — Таким образом, из всякой формулы дифференциального исчисления можно получить формулу И. и. простым высвобождением функции, стоящей под знаком дифференциала с прибавлением постоянного слагаемого. Например, если dj/ х то 2/х С= i/х + С, Основой интегрирования явJ 2у х ляется небольшая таблица простейших неопределенных интегралов, непосредственно получаемых из таблицы дифференциалов элементарных функций [элементарными считают: рациональные функции (см.), функции ^ж, ах, In ж, тригонометрические и обратные им круговые функции (см.)]: 1. j*xmdx = -~^ + С, если т Ф — 1;6-+ 7
Г — 1 lnx~fl I Г' J х2 — а2 2а х+а +
8 — jT^=>rcts^ + c; 9 — Ь^=41п<ж2±«2) + С’;
10. Г J
dx
Уа2_Х2
11. Г J
12.
dx
V «2
± а2
C — xdx V Х2 ± а2
J
= arc sin - + С; а
In (х + V ж2 + а2) + С; = }/гг2 + а2 + (7; —
13. J'tgxdx-= — In cos ж + С; 14. J* ctgxdx = in sin ж + С;
2. ff = lnx + C-, 3. §aXdx = ~ + С;
15—4. J* ех dx = ex + С\ 5. J* sin ж dx — — cos ж + С; 6. J* cos ж йж = 81пж + С;
S^-^x + C-,
8 — f
=
+С; 9 — j i^ = arctg® + 0; 10. Jf /1 — Х2 — l* = arc sin ж + С.
Формулы эти справедливы независимо от того, является ли «аргумент интеграции» ж независимым или зависимым переменным. Дальнейшее расширение таблицы основано на свойствах интегралов, важнейшие из к-рых таковы: 1. Знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, т. е.
djf(x) dx = f(x) dx и J*dF(®) = F(®)+ С.
2. Интеграл алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов: J* lh(x) + f3(x) — f3(x)]dx = J*f3(x) dx + + ff3(x) dx — J*f3(x) dx.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: J* kf(x) dx — k j*f(x) dx.
При интегрировании не всякий интеграл выводят заново, а пользуются таблицами интегралов, к-рые составляются путем расширения вышеприведенной таблицы. В этих таблицах, обычно, приводят наиболее употребительные основные интегралы, как напр.: 1. f (ах+b) ndx = (я* * + С, если п — 1; С/
U
Д" 1/
2- /^ь = Т1п(«а!±ь) + ^
3 — f ^=х + а^(х±а) + с-, 4—5- /<d^=Mln(a±te)+drd+C;
17. J* sin2 жс? ж =
уйш2ж + C;
18. J* cos2 жб? ж = j + |sin2® + C;
19. J* 1пжйж = ж(1пж — 1) + C; 20-
=
+
И. и. интересует вопрос: всякая ли функция /(ж) действительно переменного ж имеет интеграл? Ответ дает доказываемая в И. и. теорема о том, что всякая функция /(ж), непрерывная на некотором сегменте (отрезок, включающий и свои концы, на котором изменяется ж), имеет интеграл. Эта теорема не допускает исключений, но она совершенно не касается вопроса о том, можно ли фактически отыскать интеграл (первообразную) как такую конечную комбинацию элементарных функций, дифференцирование к-рой дает данную функцию /(ж). Последнее является одной из главных задач интегрирования. Оказывается, во многих случаях эту задачу удается разрешить. Однако, общего метода нахождения первообразных для функций, составленных из элементарных, И. и. не знает, в противоположность дифференциальному исчислению, позволяющему вычислить дифференциал любой конечной комбинации элементарных функций. Даже для тех случаев, когда указанная задача разрешима, И. и. располагает лишь рядом разнообразных приемов, область употребления каждого из которых ограничена. Общего правила для выбора того или иного приема также нет; уменье находить интегралы приобретается, гл. обр., упражнением. Общая суть этих приемов состоит в преобразовании интегрируемого выражения, приводящем его к какой-либо из табличных форм.
Наиболее распространенными являются способы замены переменной и интегрирования по частям.
Способ замены переменной в J* f (ж) dx осуществляется так: полагают ж = <р (£), тогда dx = = <p'(t) dt и J*f(x) dx = ji f [<р (t)] у' (t) dt.
Например: в f dx \ — — n — «г полагают 1 + ж = t2, J(l + X) 1г + (1 + x) /a
