ИНТЕГРАЛЛит.: Feulner A., Kunstgeschichte des MGbels seit dem Al tertum? B., [1927].
ИНТЕГРАЛ (integer — целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь движущейся точки, по скорости этой точки и т. п.), а с другой — измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определенные И., вычисление к-рых является задачей интегрального исчисления (см.). Основные понятия — неопределенный и определенный И. — под влиянием встающих перед математикой потребностей теоретического естествознания и техники, а также в ходе развития самой математики подвергались дальнейшим изменениям и обобщениям.
Неопределенный И. Неопределенным интегралом функции f(x) одного действительного переменного называется любая функция F(x), производная к-рой при каждом значении х равна f(x). Неопределенный И. F(x) обозначается J*f(x) dx. Разность двух неопределенных И. одной 'и той же функции равна постоянной величине, обратно, — прибавляя постоянную к неопределенному И. функции, вновь получаем неопределенный И. той же функции.
Следовательно, имея один неопределенный И.
Fq(x) функции /(ж), получаем общее выражение неопределенного И. функции /(ж) в виде К(ж) = Fq (ж) 4 — С. Одной из основных теорем интегрального исчисления является теорема о том, что каждая непрерывная функция /(ж) действительного переменного имеет неопределенный И. ъ Определенный И. Определенным И. J* f(x) dx
а
функции /(ж) с нижним пределом а и верхним пределом Ъ называется разность F(b) — F(a), Tjxp F(x) есть неопределенный И. функции /(ж); определение явно не зависит от того, к-рый из неопределенных И. выбран для вычисления определенного. Если функция /(ж) непрерывна, то приведенное сейчас определение определенного И. в случае а<5 равносильно следующему определению Коши: возьмем произвольное подразделение сегмента [а, Ь] при помощи точек а = ж0<ж1<ж2< ... <жп=5.
(1) В каждом сегменте [жг_х, ж<], (г = 1, 2, ..., п), возьмем точку (ж, — _1< <жв), и образуем сумму S = Ш (^ - ж0) + f(f2) (ж, — Ж1) + ...
•••+ f($n) (*^П ~ ^П — 1).
Сумма 8, очевидно, зависит от выбора точек жги ft«. Однако, в случае непрерывной функции /(ж) суммы 8, получающиеся при различном выборе точек жг-и стремятся к вполне определенному пределу, если число п неограниченно возрастает, а максимальная из разностей ж, — жх_1 стремится к нолю. Этот предел и является, по опь ределению Коши, И. J f(x) dx. В случае а = Ъ Ъ
а
по определению ^/(ж) с? ж = 0, а в случае а>&: а
Б. С. Э. т. XXVIII.
ъ
578 а
f(x) dx, где в правой части ра венства И. определяется по Коши. Кроме того ъ с с jf(x) dx + J'f(x) dx =J*f(x) dx.
aba Определенный И., как указано выше, выражается через неопределенный; обратно, — неопределенный И. может быть выражен через определенный, если в этом последнем сделать переменным верхний предел: ff(x) dx = F(x) = /f(f) dS +C, a
где С и a — произвольные постоянные. Чтобы получить все неопределенные И., достаточно изменять С, выбрав любое фиксированное а.
О возникновении понятия И. и его значении в геометрии, механике, физике, а также о способах вычисления неопределенных и определенных И. см. Интегральное исчисление. О дальнейшем обобщении данных выше определений см. ниже гл. Обобщения понятия И.
И. дифференциального уравнения. И. дифференциального уравнения называется каждая функция, удовлетворяющая уравнению. Неопределенный И. F(x) функции /(ж) является решением дифференциального уравнения первого порядка ±F(x) = f(x).
Таким образом, понятие И. дифференциального уравнения является обобщением понятия неопределенного И.
Обобщения понятия И Коши — Риман — Дарбу. Коши (A. L. Cauchy, 1789—1857) применял свое определение И. (см. выше) только к непрерывным функциям. Точное изучение пределов применимости этого определения было проведено Риманом (В. Riemann, 1826—66). Риман обнаружил, что помимо непрерывных функций это определение применимо и ко многим разрывным функциям. — Проникновение в математический анализ в конце 19 в. точки зрения теории множеств (см. Дифференциальное исчисление) вызвало и соответствующее новое, принадлежащее Дарбу (Darboux, 1879) определенней., опирающееся на понятия множества и его верхней и нижней границ (см. Предел).
Пусть функция /(х) ограничена на отрезке от а до Ъ.
Возьмем подразделение (1), обозначим через Mz, ...
..., Мп и mlt т2,..., тп соответственно верхние и нижние границы значений функции У(х) в промежутках [a, xj, [xt, xj, ..., [хп_х, Ь] и составим суммы Mx{xl-a)^-Mz{xt-xt)+ ... + (b-xw_i), (2) (Xi-cO + nii (Х2 — Хх)+ ... +ти(Ь — Xn-i).
(3) Пусть S и s — соответственно нижняя граница сумм (2) и верхняя граница сумм (3) для всевозможных подразделений (1). Для всякой функции /(х) имеет место неравенство в <8. Дарбу показал, что точное равенство s=S имеет место для функций, интегрируемых в смысле КошиРимана, и только для них; в этом последнем случае общее значение s и S равно интегралу Коши — Римана функции / (х). Таким образом, И. может быть определен как общее значение 8 и 8.
Интеграл Лебега. Точка зрения теории множеств, открывшая пути к чрезвычайно глубокому проникновению в строение функций действительного переменного, привела в дальнейшем и к более тонким определениям И., так что в начале 20 в. были найдены методы интегрирования всех фактически известных до сих пор ограниченных функций. С этого времени в основу определения И. кладется понятие меры множества, данное в 1902 Лебегом (Lebesgue). Мера множества является обобщением длины отрезка в случае множества точек, расположенных на прямой, или площади — в случае множества точек, расположенных на плоскости, или объема — в случае множества точек, расположенных в пространстве, и т. д. Меру в общем случае можно определить как соот — 19
