Тогда общее решение Д. у. будет: У>2, • ••, Ч>П — 1) (12) (Ф — произвольная функция). Неоднородное линейное уравнение отличается тем, что Р15 Рп могут зависеть также от z, а в правой части стоит не 0, а данная функция R (z, х19 ..., хп). Его решение приводится к решению однородного уравнения с числом независимых переменных на 1 большим. Решение нелинейного Д. у. в частных производных тоже приводится к интегрированию системы обыкновенных Д. у.
Общее решение тоже зависит от произвольной функции. Для выделения определенного частного решения нужно задать начальные условия. В случае уравнения с частными производными 1 — го порядка они имеют форму: найти решение z9 к-рое при данном численном значении жх = ж? обращается в данную функцию от остальных аргументов: £ = ^(ж2, ..., жи) (задача Коши).
Решение Д. у. с частными производными 2 — го порядка в общем случае уже не сводится к интегрированию обыкновенных Д. у. Особенно большое значение для математической физики имеют линейные Д. у. в частных производных 2 — го порядка. Таково напр. уравнение колебания струны: д%и а д2и z-tox lit* ~ а "0x2 (13) (здесь ж — координата точки струны, и — отклонение от положения равновесия, t — время, а — постоянная). Для однозначного-определения и здесь необходимы два начальных условия: при t = 0 функция и = f (ж) (начальное отклонение) и ~ (ж) (начальная скорость в каждой точке). Если кроме того дана струна, закрепленная в точках ж = 0 и ж = I, то прибавляются еще граничные условия: для всякого t при ж = 0 и при ж = I должно быть и = 0.
Решение ур-ия в этом случае может быть дано как при помощи квадратуры, так и при помощи бесконечного ряда (см. Гармонический анализ). Другой важный случай уравнения 2 — го порядка — т. н. уравнение Лапласа, для плоскости имеющее вид: + Оу* _ и о‘ 14) дх*
Для однозначного определения решения этого ур-ия ставятся условия: дана в плоскости (ж, у) область JD, ограниченная кривою Г; требуется найти функцию и, удовлетворяющую внутри области D Д. у. (14) (гармоническая функция) и принимающую на контуре Г заданные значения. Эта задача носит название задачи Дирихле.
Уравнения в дифференциалах имеют вид: Р(Ж1, ж2, ..., жи, dx19 dx2t ..., йжп) = О (15) (F — однородная функция относительно дифференциалов). Впервые они изучались Монжем. Наиболее простой тип — уравнение линейное относительно dx19 dx29 dxn (уравнение Пфаффа):' А$хг + Л2йж2 4- ... + Andxn = 0' (16) (А19 А2,..., Ап — функции от х19 х2, ..., хп). В случае трех переменных уравнение пишется в виде: Pdx + Qdy + Rdz = 0 (17) (Р, Q, R — функции от ж, у, z). В общем случае можно получить решение ур-ия (17), вводя одно произвольное соотношение, напримерz = <р(ж, У)\ получается обыкновенное Д. у. 1 — го порядка между ж и у\ интегрируя его, получим второе соотношение между ж, у и произвольной постоянной. В частности может случиться, что уравнение (17) имеет решение в виде одного соотношения между ж, у, z и произвольной постоянной. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
Общее исследование ур-ия (17) составляет т. н. проблему Пфаффа.
Лит.: Филлипс Г., Дифференциальные уравнения, М. — Л., 1925; Гурса Э., Курс математического анализа, т. II, ч. 2, М. — П., 1923; Стеклов В. А., Основы теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, М. — Л., 1927; Тамаркин Я. Д. и Смирнов В. И., Курс высшей математики для тех-* ников и физиков, т. II, Ленинград, 1926; Forsyth A. R., Lehrbuch der Differentialglejchungen, 2 Aufl., Braunschweig, 1923; Jince E. L., Ordinary Differential Equations, London, 1927; Riemann G. u. Weber H., Die Differentialgleichungen dermathemat. Physik, 7 Aufl., Braunschweig, 1925.
В. Степанов. ДИФФЕРЕНЦИАЦИЯ (лат. differentiatio — расслоение, расчленение) — такой процесс развития (см. Развитие), при к-ром однородное становится разнородным, первоначальное единство расчленяется на многообразные и различные формы и ступени расслоения. Дифференциация противопоставляется интеграции (см.).
Буржуазные эволюционисты считают Д. единственной формой прогрессивного развития. Все развитие как биологических организмов, так и человеческого общества они сводят к дифференциации их, к усложнению их структуры, к возникновению разделения труда между людьми в обществе и разделения функций между клетками в организме.
Спенсер (см.) построил универсальную эволюционную теорию, в которой, устанавливая полную аналогию . между развитием органической и неорганической природы, изображал^его состоящим исключительно из процессов д. и интеграции (см. Органическая школа). Одноклеточные существа интегрируются вначале в колонии, в сожительствующие группы, затем из колонии самостоятельных одноклеточных организмов постепенно возникает и единый многоклеточный организм., Зато внутри этого организма происходит Д. клеток вследствие разделения функций между ‘ними. Д. выражается также в том, что ранее однородные простейшие существа под влиянием различных внешних условий группируются в различные организмы, что и образует многообразие природы. Полная аналогия, по Спенсеру, существует и в развитии общества. Внутри первобытного общества вследствие роста и усложнения техники появляется разделение труда, и стало быть возникают классы.
Классовое деление т. о. Спенсер выводил из мирного сотрудничества людей, вытекающего из Д. общества и разделения труда. С этой точки зрения классы будут существовать все время, пока сохраняется высокий экономический уровень общества. Бесклассовым, т. е. социально-однородным, может быть только первобытное общество, стоящее на низком уровне развития. Высокоразвитое общество должно делиться на классы, и коммунизм является невозможным. Наряду с дифференциацией, по Спенсеру, происходит процесс интеграции общества: отдельные люди объединяются в роды и племена, племена в государства. Вслед за Спенсером значение дифференциации как сущ-
