правлением касательной). Так как вторая производная дает скорость изменения первой производной, то величина ее очевидно связана с тем, насколько быстро в данном месте изменяется направление кривой, т. е. насколько кривая в данном месте искривлена. Поэтому от величины, второй производной существенно зависит кривизна (см.) кривой; вследствие этого со второй производной приходится иметь дело во всех технич. расчетах, связанных с кривизною, напр. при исследовании изгиба балок.
Механически вторая производная, как скорость изменения скорости, интерпретируется как ускорение. движения. Так как, согласно закону Ньютона, сила, вызывающая движение, равна произведению массы движущегося тела на его ускорение, то во всех дйнамич. задачах, где требуется рассчитать движение, к-рое произойдет под действием данных сил, непременно участвуют вторые производные.
Дифференцирование функций нескольких переменных. Если u = f(x9 у) есть функция от
двух независимых переменных х и у, то мы можем, зафиксировав для у какое-нибудь постоянное значение (и сделав т. о. и функцией одной переменной ж), дифференцировать и по х. Полученная производная называется частной производной от ипохи обозначается так: ~ или fx (х, у). Аналогично опои ределяется частная производная u по у9 или fy (х9 у)\ ~ и очевидно подобно самой величине и зависят от обеих переменных х и у.
Если, считая у постоянной, дважды продифференцировать и по х, то мы получим вторую производную или fxx (х9 у). Аналогично опре деляется
или fyy (х, у). Но мы можем также
найти производную по у от ~; эту производ (х9 у) — 9 ч
аналогично определится или fyX(x, у).
Теория показывает, что две последние производные совпадают между собою, так что функция и имеет три различных частных производных второго порядка. При повышении порядка число производных очевидно еще возрастает; при этом в качестве общего правила производные, отличающиеся друг от друга только порядком дифференцирований, совпадают между собою.
Предметное значение частной производной очевидно: она представляет собою скорость, с к-рой изменяется величина и по отношению к величине х9 при условии, что величина у сохраняет постоянное значение. В естествознании и технике, где каждая встречающаяся величина, как правило, зависит в свои! х изменениях от целого ряда других величин, с частными производными постоянно приходится иметь дело. Пример: ад = 4ж?/3 — = 4у3 — Юху, ^ = 12ху*- 5л2; ную мы обозначим через
или
d2u
S=S=12^2—10a:; й=24^Полный дифференциал du функции u = f(x9 у) определяется формулой: Б. С. Э. т. XXII.где dx и dy — приращения независимых переменных х и у. Его роль в теории функций нескольких переменных та же, что роль обычного дифференциала для функций одной переменной: полный дифференциал есть виртуальное приращение функции и\ при малых dx и dy он почти не отличается от истинного приращения Ди и практически может заменять его. Так как, с другой стороны, вычислить полный дифференциал значительно легче (в большинстве случаев), чем приращение, то понятна его роль в приближенных вычислениях.
Полная производная. Если в функции u = f (х9 у) мы станем считать х и у функциями нек-рой новой переменной t9 т. е. х=у (О, у = у> (0, то очевидно и и станет функцией от • ’ во многих случаях важно иметь выражение ди ди
ди
dx
du i
через производные: ОХ Оу — г, и (*1 формула VVV эта, называемая формулой полной производной, имеет вид: du _ ди dx . ди dy dt~~ dx~dt ду dt*
Это — общая формула, содержащая в виде частных случаев многие из правил, приведенных выше в разделе «формальная теория».
Лит. см. при ст. Бесконечно-большие и бесконечномалые. Кроме того — Сajог i F., A History of the Conceptions of Limits and Fluxions in Great Britain from Newton to Woodhouse, L., 1920; G о u r s a t E., Cours d.’analyse math£matique, 3 tt., P., 1923 — >-25 (на рус. яз. имеется: Гу рса Э., Курс математического анализа, т. I — II, М., 1911—23); РiсагdЕ., Trait6 tl’analyse, t. I — III, 2 6d., P., 1901—08; ЧeзapоЭ., Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечномалых, ч. 1—2, Одесса, 1913—14; Ковалевский Г., Основы дифференциального и интегрального исчислений, Одесса, 1910; ГрэнвилльВ. и Лузин Н., Элементы дифференциального и интегрального исчислений, ч. 1—2, 10 изд., М. — Л., 1930—31; Выгодский М. Я., Основы исчисления бесконечно-малых, 2 изд., М. — Л., 1932; Л а-Валле Пуссен Ж. Ш., д е, Курс анализа бесконечно-малых, т. I, вып. 1—2, П., 1922. П. Лузин.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ, выражения, составленные из одной или нескольких функций, их производных по независимым переменнйм различных порядков, а иногда также и дифференциалов этих переменных, обладающие тем свойством, что они не меняют своей структуры при том или ином преобразовании переменных. Если выражение не меняет своей структуры при двух преобразованиях переменных, то оно остается в этом смысле инвариантным й при последовательном производстве обоих этих преобразований; преобразования, относительно которых данное выражение является Д. и., образуют группу (см.).
Сообразно этому Д. и. разделяются на две категории: а) Д. и. данной группы преобразований, б) Д. и. любого преобразования. Так, дифференциальные параметры (см.) являются Д. и. ортогональных преобразований (см.), т. е. преобразований, к-рые переводят одну систему прямоугольных Декартовых координат в другую, такую же. Д. и. ортогональных преобразований является также выражение: дх* + дх* + ... дх% (квадрат элемента длинь! в Евклидовом пространстве). Софус Ли указал общие методы для нахождения Д. и. любой группы непрерывных преобразований. Однако, как это часто бывает с общими методами, практическое их применение весьма ограничено. В наст, время детально разработано учение о Д. и. трех типов преобразований: а) ортогональных, б) аффинных, в) проективных. Для этих трех групп (из ко — 21
