зом вписываем новый шнур, еще более тонкий и извилистый, и назовем его «шнуром 3 — го порядка» и т. д. Повторяя этот прием бесконечное число раз, мы получим бесконечную последовательность шнуров, все более и более тонких и все более и более извилистых, таких, что извилины 1 — го шнура чрезвычайно уплотнены в каждой извилине предыдущего шнура. В этом случае легко показать, что при надлежащем подборе тонкости и извилистости этих шнуров точки плоскости, заключенные во всех этих шнурах, образуют непрерывную кривую, нигде не имеющую.. касательной, наклонной к оси ОХ.
Это построение можно интерпретировать следующим образом: представляют себе, что имеют бесконечное множество микроскопов Mlt М%, М3, ...» из которых каждый в 100 раз сильнее предыдущего. Тогда, взяв первый микроскоп Mi, мы видим нашу кривую несколько размытой, в виде первого шнура. Чтобы видеть ее отчетливее, мы берем второй микроскоп М2 и убеждаемся в том, что то, что мы считали за легкую расплывчатость, оказывается на деле очень густыми витками, напоминающими первый шнур и в свою очередь слегка размытыми. Взяв еще более сильный микроскоп М3, мы усматриваем, что то, что мы считали за кривую, оказывается лишь вторым шнуром, наполненным новыми витками, и т. д. Ясно, что всякая прямая линия, проходящая через точку кривой и не параллельная оси OY, должна непрерывно пересечь бесчисленное количество раз нашу кривую, потому что она тянется вдоль витков каждого шнура.
Хельге фон Кох указал иной способ построения непрерывной кривой без касательной. Возьмем равнобедренный треугольник в качестве первого шага процесса. Боковые его стороны разделим на 3 равные части и построим на средних частях по треугольнику; это составит второй шаг процесса (рис. 6).
Далее, разделив каждую сторону полученного многоугольника на 3 равные части, на всякой средней из них опять строим тре/\ /\ угольник, что дает третий шаг процесса, и т. д. Когда мы совершим бесконечное множество шагов, мы в пределе получим непрерывРис. 6. ную линию, не имеющую нигде наклонной касательной. Этот способ вполне строгий, но может ввести в заблуждение. Дело в том, что кривая выглядит колючей, и действительно, на ней имеется бесконечно много вершин. Но множество их только счетно, и вовсе не им обязано отсутствие касательной, а изгибам кривой, как и в предыдущем случае.
Л
Д. и. и естествознание. Роль Д. и. в развитии геометрии была уже отчасти освещена выше в историческом обзоре. Подробнее см. об этом в ст. Геометрия, Дифференциальная геометрия, Выпуклость и Вогнутость. — Не менее важную роль играет Д. и. и в математической обработке проблем естествознания в широком смысле слова (т. е. включая сюда и вопросы техники). Причиной этого является гл. обр. то обстоятельство, что только понятие о производной дает возможность строго определить важнейшее понятие скорости. Если переменная величина у изменяется в зависимости от другой переменной величины х, то’ встает вопрос об относительной скорости изменения величины у по отношению к величине х. Если зависимость у от х равномерн а, т. е. изменение &у величины у пропорционально изменению А® величины х, то скорость v изменения величины у по отношению к величине х естественно определяется как отношение соответствующих изменений: v = . Это — величина постоянная, она не зависит от выбранных значений х и у, а также от приращений Ат/ и Аж. Так, само собою ясно понятие скорости прямолинейного равномерного движения (ж — время, у — пройденный путь). Другой пример: работа постоянной силы, приложенной к движущемуся телу, растет пропорционально пройденному пути (х — путь, у — работа). Скорость изменения у по отношению к х численно равна работе на единице пути и очевидно равна действующей — силе. Понятие относительной скорости изменения двух величин существенно осложняетсяв случае зависимости неравномерной (т. е. в случае, когда приращения величин х и у связаны законом более сложным, чем прямая пропорциональность). Тогда отношение будет различным для различных х, у, Ьхп А?/; оно дает среднюю скорость изменения величины у (относительно величины х) на участке от ж до х + Дж. Если Дж мало, то эта средняя скорость на участке от ж до ж + Аж приближенно характеризует собою «мгновенную» скорость «в момент ж», хотя конечно и несколько отличается от нее, т. к. на участке от ж до ж + Дж скорость изменения величины у успевает все же измениться. Чем меньше Дж, тем ближе очевидно средняя скорость на участке от ж до ж 4 — Дж к «мгновенной» скорости в начале этого участка («в момент ж»).
Поэтому за скорость изменения величины у относительно величины ж (при некотором определенном значении этой последней) принимают предел отношения при условии, что Дж стремится к нулю, т. е. производную от функции, выражающей зависимость величины у от ж.
Качественная природа скорости или производной (физическая размерность) определяется в зависимости от природы величин у и ж; так, если у — длина, ж — время, то у' есть скорость движения; если у — работа, ж — длина, то у' есть сила и т. п. Следует иметь в виду, что численное значение производной существенным образом зависит от единиц, которыми измеряются величины ж и у.
О других, более частных приложениях Д. и. см. Бесконечный ряд, Ряд Тейлора, Экстремум.
Производные и дифференциалы выеших порядков. Производная y' — F'(x) от функции
т/ = Е(ж) есть функция от ж, которую можно снова дифференцировать; производная от производной будет по отношению к основной функции у ее второю производною (или производною второго порядка) Подобным образом можно определить производные третьего, четвертого и т. д. порядка.
Точно так же дифференциал dy функции у = — f (ж) есть функция от ж (наряду с этим он зависит от Аж; эта зависимость нас в данный момент не занимает). Поэтому имеет смысл говорить о дифференциале от дифференциала или о втором дифференциале d2y функции y = f (х). Очевидно d2y = d (dy) = d [f (ж) dx\ = [/' (ж) dx]' dx == = Г (ж) (dx) 2 = y* (dx) 2, откуда
т. e. вторая производная равна второму дифференциалу функции, деленному на квадрат первого дифференциала независимой переменной. Подобным же образом устанавливаются формулы У"'=^ ylv = z£’ и в00бще Ут = = Г>(®) = ^г
Из производных высших порядков только вторая имеет первостепенное значение в геометрии, механике и технике. Первая производная характеризует собою направление кривой в соседстве данной точки (определяющееся на-
