ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕПосле этого равенство ~ = /'(ж) даст нам dy = = f'(x) dx, т. е. и числитель dy, бывший только «символическим, теперь уже приобретает конкретный числовой смысл, будучи равен произведению производной f'(x) на дифференциал независимой переменной dx. Этот числитель dy, являющийся теперь функцией двух независимых переменных х и dx, называется дифференциалом данной функции y — f(x). Если на чертеже Ньютона (рис. 4) отрезок ВЬ, равный СЕ, есть кх= dx, то отрезок ЕТ есть очевидно dy, в то время как отрезок Ес есть приращение А?/. Так. обр. приращение функции ку и дифференциал функции dy суть разные вещи. Но если А® стремится к нулю, то очевидно lim = 1, если производная f'(x) отлична от нуля.
Понятие о дифференциале функции есть в высшей степени важное понятие. Можно подумать, что для того чтобы иметь дифференциал функции dy, надо сначала знать ее производную f '(х). На практике обычно происходит наобор от: сперва непосредственно вычисляют дифференциал функции dy, а затем, деля его на dx, узнают производную /'(#)• Для нахождения же дифференциалов всех функций, к-рые могут быт написаны помощью конечного числа знаков элементарных функций, служит следующая таблица основных дифференциалов, впервые составленная Лейбницем: 10) d sin ж = cos ж 1) d(u + v) = du + dv 11) d cos x = — sin x dx 2) d(u — v) = du — dv 3) d(uv) = vdu + udv 12) ^ж=^ 4> dU)= — 13) dctga: = -^ 5) dxn = nxn^dx, в част14) d arc sin x = ности dY x = ~^7=
2Vx 6) dax = a? In a • dx 7) dex = exdx
15) d arc cos x = -
8) dloga® = ^
16) d arc tg x =
/1 — X2
17) d arc ctg ж = — является предлоНаиболее важным однако ..
. жение о дифференцировании функции от функции: если y = f(u) и и = у(х), то предложение это гласит: dy = f'(u) du, или в словах: чтобы найти дифференциал функции от функции, поступают так, как если бы внутренняя функциям была независим ымпе р ем енным. Если напр. у — In z, а 2 = sin ж (т. е. нам нужно продифференцировать функцию у = In sin ж), то мы имеем: dv 1 dz 9)' dlna:= v X
dz
и следовательно dv 1 — . _ _ .
z’
дт. = COS Ж
dx
COS Ж — cosx — Ctg Ж.
Именно эта теорема и позволяет находить дифференциалы всех функций, которые можно написать конечным образом. Именно она дает чрезвычайную мощь новому исчисл'ению; без нее Д. и. как алгорифм не существовало бы.
Чтобы должным образом понять значение дела Коши и оценить обоснование Д. и. на построенном им фундаменте, нужно обратить внимание на роль, к-рую играет в его учении понятие переменной величины. Роль этаисключительно важна, и в то время как напр. алгебра и теория чисел имеют дело исключительно лишь с постоянными числами, т. е. с величинами в стационарном состоянии, Коши вводит в математический анализ переменные величины на равных правах с постоянными, подчинив и те и другие одинаковым правилам исчисления.
В этой одинаковости правил лежал залог успеха учения Коши. В конечном итоге математический анализ имеет целью получение определенных соотношений между теми или другими постоянными или параметрами, важными для естествознания или самой математики. Согласно идеям Коши, математический анализ, чтобы иметь эти соотношения, может вводить в рассмотрение переменные величины, подчиняющиеся тем же правилам исчисления, как и постоянные величины. Эти переменные величины играют в рассуждениях лишь служебную роль и исчезают сами собой, при правильном ведении рассуждения, в конце доказательств, так что в итоге рас суждения остаются лишь нужные соотношения между постоянными.
Согласно Коши, роль переменных величин та же самая, какую играют в алгебре промежуточные неизвестные, к-рые исключают в ходе вычислений. Легко заметить, что в этом введении в анализ переменных величин сказывается тесная связь идей Коши именно с идеями Ньютона, а не Лейбница. Именно Ньютон рассматривал производные как скорости. Для него как великого естественника скорость движения была самым основным, самым естественным, самым обыденным и самым понятным явлением, к-рое находится у нас каждый день перед глазами.
И поэтому не только существование производных, но и самое понимание, определение производных Ньютон тесно связывает с понятием скорости. О существовании производных нет надобности спрашивать, потому что должна существовать скорость движения. Когда Ньютона упрекали за то, что он явным образом ввел в математику время, он отвечал, что за «вводимое» им «время» можно принять любую изменяющуюся величину. Как-раз у Коши и вводятся принципиальным образом переменные величины, и т. о. с этих пор анализ становится обогащенным новыми величинами, употребляемыми на равных правах с постоянными, как вводятся мнимые числа наравне с вещественными. .
Такая точка зрения совершенно безукоризненна, и Коши по заслугам принадлежит слава первого строгого основателя Д. и. Реформа, сделанная им в математическом анализе, находит могучие отзвуки и в наше время. Его обоснование Д. и. сохраняет силу и сейчас и принимается безоговорочно очень многими математиками, убежденными сторонниками взглядов Коши. Их число следует увеличить еще теми представителями математических наук, к-рые, соглашаясь по тем или иным причинам с недостаточностью фундамента Коши для математическ. анализа и признавая, на словах, необходимость положить в основу Д. и. точку зрения теории множеств, на деле, в их текущей работе, полностью ограничиваются идеями Коши, нигде не выходя за их пределы (что всегда легко установить). Если присоединить таких математиков к открытым сторонникам взглядов Коши, то нужно признать, что большинство современных математиков полностью принимает математический анализ таким, каким он представлялся еще Коши. В педагогике, преподавании и в учебниках обоснование Д. и. на основе идей Коши является замечательным по силе и совершенно неоценимым средством придавать совершенную ясность математическим понятиям, рассеивая туман, скопляющийся вокруг наиболее темных и трудных понятий и к-рый никогда не рассеивается, если основные понятия дифференциального исчисления объясняют на аналогиях, лишь расширяя смутность представления и на соседние понятия, казавшиеся непосредственно ясными.
Но точка зрения Коши имеет, пр современным взглядам, тот основной недостаток, что она бессильна охватить и объяснить многие очень глубокие факты математического анализа, которые были открыты в конце прошлого 19 и в начале настоящего века. Факты эти были открыты теорией множеств и основанной на ней теорией функций и обнаруживают необычайно тонкую и в высшей степени богатую микроструктуру математических предметов, оказывающую могущественное влияние и на соотношение между давно известными классическими свойствами (такова напр. теорема Фишер-Риса). Эти факты, число к-рых все увеличивается и к-рые составляют прочное, приобретенное 70 — летней работой достояние абсолютной ценности, просто выпадают из поля зрения взглядов Коши. Лицо, признающее только точку зрения Коши, не видит этих фактов и не сможет ни открыть их ни почувствовать их важность. Точку зрения Коши, важную для преподавания начал математического анализа, нельзя рекомендовать как достаточный научный фундамент Д. и., удовлетворяющий законным и обязательным требованиям ко всякому научному фундаменту — быть строгой и глубокой в отношении охвата известных фактов. Короче, точку зрения теории Коши приходится квалифицировать как близорукую, так как она сильно ограничивает поле зрения.
Как конкретный пример факта, не охватываемого точкой зрения Коши, укажем на следующую задачу, теснепше связанную с самой основной проблемой дифференциального исчисления и интегрального исчисления.
