заменяются часто простыми алгебраическими выкладками. Следует отметить, что эта идея почти полностью воскрешена в наст, время в символической логике Шредера, Пеано и Ресселя и в работах Гильберта. Часть этого сочинения Лейбница осталась неопубликованной; она была разыскана и напечатана недавно и оказалась содержащей исчисление классов, включая индуктивность и нолькласс. Это исчисление практикуется в современной теории множеств. В 1672 Лейбниц едет с политич. миссией в Париж, где знакомится с Гюйгенсом, принявшим горячее участие в молодом ученом и познакомившим его со всеми тогдашними математич. знаменитостями Парижа. Он лично руководит пополнением недостаточного математич. образования Лейбница.
В 1673 Лейбниц едет в Лондон, где живет несколько месяцев. Здесь он представляет Королевскому обществу изобретенную им счетную машину. Вернувшись в Париж, Лейбниц с неутомимой энергией пополняет свои сведения по математике. Занимаясь задачей о квадратуре круга, Лейбниц приходит к ряду ^=1--+---+.. правда, найденному раньше Григори (Gregory). Но попрежнему в центре его внимания находится «реальная характеристика», т. е. изобретение системы знаков, долженствующей упразднить не только латынь, но и вообще всякий язык, заменив его системой «знаков мысли», т. е. замена работы мышления механизмом. Он упрекает английских логиков Дальгарно («Ars signorum», 1661) и Уилкинса («Real character», 1668) в том, что они оперируют с синтаксисом, а не с алгеброй. Он замечает, что, прежде чем атаковать всю область мысли, следует осуществить свои намерения в частной науке, например в теории чисел, пополненной в целях изучения природы «непрерывными числами», придав такой обобщенной теории чисел вид арифметики. По словам Лейбница: «Наши идеи все время дают ряды непрерывных разностей, и эти бесконечно-малые разности не войдут в наше исчисление, если не будут обозначены новыми символами и подвергнуты специальным операциям». Значит надо создать алгебру бесконечно-малых, если хотят приступить к универсальной логике. Так. обр. «Исчисление понятий» и «Исчисление разностей» ведут Лейбница к созданию Д. и. и интегрального исчисления. После своих занятий площадью круга Лейбниц снова берется за «G6ometrie» Декарта и атакует то, что он называет «прямой и обратной проблемой касательных». Первая проблема: «дана кривая, найти к а с ат ельную», ведущая к Д. и., была трактована Декартом в простейших случаях. Но обратная проблема: «зная касательную, восстановить кривую», выходит за пределы метода Декарта. Лейбниц с этою целью строит то, что он называет «характеристическим треугольником»; это — бесконечно-» малый треугольник, составленный из приращения абсциссы, ординаты и дуги кривой, совпадающей с касательной, т. к. Лейбниц рассматривает кривую как многоугольник. Чертеж Лейбница совпадает с чертежом Барроу (рис. 3) и был им заимствован у Паскаля. Из этого чертежа Лейбниц устанавливает, что обратная проблема касательных и проблема квадратур суть тождественные вещи. Этот вывод Лейбница содержится в рукописи 1673.Установив, что обращение задачи дифференцирования есть задача о квадратуре, Лейбниц в ближайшие годы сосредоточивает все свое внимание на выработке удачных значков для созидаемой им алгебры «непрерывных чисел».
Сначала он употребляет символику Кавальери, именно значок omn (omnia, что значит — всё), но находит его громоздким. Наконец 29 окт. 1675 Лейбниц заменяет значок Кавальери значком интегрирования «J*»h пишет свои первые ур-ия:fx = ^, J\x+y) = fx + f У — В этот же день он вводит значок «й» для обозначения разности, т. е. действия, обратного действию J*. Так. обр. этот день замечателен тем, что является датой рождения нового исчисления. Но сначала Лейбниц не знает, как ему употреблять значок d, доставлявший ему много забот. Рассматривая его как значок, обратный значку J*, он сперва даже помещает
его в знаменатель и пишет: если JI = у а, то I = а Затем он начинает писать вместо d современное dx. Чрезвычайных усилий от него потребовало решение вопроса, каким образом писать d(xy) — в виде ли dxdy, или в виде
или же в виде d . Наконец 21 ноября 1675 он выводит свою знаменитую формулу: d(xy) = = ydx + xdy и приступает к составлению таблиц дифференциалов и интегралов. В ноябре 1676 он еще делает ошибки в вычислении, написав: ^Ух = -^.. Но 11 июля 1677 обе таблицы Vх
были в полном порядке, и Лейбниц переходит к решению всех встречавшихся ему вопросов путем вновь созданного исчисления.
Наконец в 1684 Лейбниц публикует в новом нем. журнале «Acta eruditorum» на 6 страницах принцип своего исчисления и свои таблицы, на 3 года раньше появления Ньютоновых «Principia», где были первые печатные сведения об исчислении флюксий. Сначала на работу Лейбница никто не обратил внимания, но затем на чрезвычайную мощь нового исчисления обратила внимание семья Бернулли, и оно начало быстро завоевывать известность на континенте. Сначала Ньютон, узнавший о новом исчислении, сочувственно отнесся к нему и обменялся с Лейбницем письмами. Но затем под влиянием окружающих они были вынуждены к долгой и печальной полемике о приоритете.
По этому поводу следует заметить, что открытие Д. и. было совершенно подготовленным, как и открытие неевклидовой геометрии.
Учет влияний в такой напряженной атмосфере крайне затруднителен. Аналогичное мы теперь наблюдаем в теории квант или ведущейся в наст, время полемике о законе «исключенного третьего», т. е. собственно опять о сущности бесконечного. В такие исторические моменты каждое слово, мысль, даже жест ведут к образованию того или иного' потока идей.
Обоснования Д. и. Ни Ньютон ни Лейбниц не дали безупречного обоснования Д. и. Это дело выпало на долю дальнейших поколений.
Через весь 18 в. тянутся дискуссии об основании Д. и. В математической литературе того времени содержатся самые разнообразные спр-
