ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯвопрос о том, могут ли две данные поверхности быть переведены одна в другую изгибанием или, иначе, могут ли данные поверхности быть наложены одна на другую. Этот вопрос в настоящее время получил полное разрешение; ответ на него дается исследованием систем конечных уравнений. Во второй задаче, несравненно более трудной, требуется указать все поверхности, наложимые на данную, или даже все поверхности с данным линейным элементом.
Триортогональные системы. Эта область Д. г. развилась в связи с задачами математической физики и имеет в наст, время исключительное значение для всего математического анализа.
Три семейства поверхностей: Fi (ж, у, *) = 0i, Ft (ж, у, £) = е2, fs(x, у, £) = е3, где ex, е2, 0з — постоянные, образуют тройную ортогональную систему, если в каждой точке пространства три поверхности, проходящие через эту точку, пересекаются взаимно под прямыми углами. Семейство софокусных поверхностей второго порядка, семейство, составленное из концентрических шаров, круглых конусов с общей осью и плоскостей, проходящих через эту ось, — дают наиболее простые примеры тройных ортогональных поверхностей.
Основной теоремой в этой теории является теорема Дюпена: всякие две поверхности триортогональной системы пересекаются по линии кривизны. Изыскание тройных ортогональных поверхностей сцязано с интегрированием ур-ия 3 — го порядка в частных производных.
Развитие Д. г. в нап р а влении теории групп. Еще из элементарной геометрии известно понятие о группе преобразований, напр. о группе всех параллельных перемещений и всех вращений. Известно, что при любом из этих перемещений каждый образ Евклидова пространства преобразуется в конгруентный ему образ.
Наши образы остаются по отношению к группе движений постоянными (инвариантными). Вообще все метрические (и только метрические) соотношения в Евклидовом трехмерном пространстве остаются инвариантными для этой группы преобразований. Исходя из этого факта, можно рассматривать метрические свойства фигур в Евклидовом пространстве как те свойства, которые остаются инвариантными для группы движений. Если выбрать в Евклидовом пространстве систему прямоугольных Декартовых координат х2, х3, то группу движений можно изобразить как совокупность линейных ортогональных преобразований: 3 х.
(13)
=2
fe=l
причем ац2, являются постоянными величинами, х'. — координаты преобразованной точкиa«W/» = ^=l ПРИ h==h и — 0 при h=#fe.
Определитель (ask) при этом райен единице. Для преобра3 зований этой группы выражение 2 переходит в г=1 3
2 «J8, оно остается т. о. инвариантным по отношению к г=1
группе линейных ортогональных преобразований. Геометрический смысл этой группы преобразований тот, что при всяком таком движении линейные образы пространства (прямые и плоскости) преобразуются снова в линейные образы и что метрические соотношения при этом не изменяются.
Исходя пз этих идей, Ф. Клейн в своей знаменитой Эрлангенской программе (1872) поставил след, проблему: «Дано некоторое многообразие и группа преобразований в нем; принадлежавшие к этому многообразию образы нужно исследовать в отношении тех их свойств, которые не меняются при преобразованиях этой группы».
Это есть т. о. задача о разыскании тех свойств геометрических образов данного многообразия, к-рые остаются инвариантными по отношению к заданной группе пре 616
образований, или, как коротко говорят, — о построении теории инвариантов заданной группы. Ясно, что если мы имеем определенную группу преобразований, то ее инварианты имеют определенный геометрический смысл.
Идеи Ф. Клейна имели очень плодотворное влияние на развитие геометрии. Упомянем только о конформной, аффинной, проективной геометрии, тех геометрических дисциплинах, которые дают инварианты групп конформных, аффинных и проективных преобразований. При исследовании свойств кривых фигур в различных многообразиях по отношению к этим группам преобразований мы получаем т. о. соответствующие Д. г. этих групп, к-рые в последнее время подвергались систематическому изучению [. В. Блашке — аффинная Д. г., Фубини и Чех (Cech) — проективная Д. г.].
Многообразия, в которых изучаются инвариантные свойства по отношению к заданной группе преобразований, обладают по отношению к этой группе свойствами однородности. Заданной группой преобразований выделяются в многообразии известные образы (напр. линейные преобразования выделяют линейные образы: плоскости, прямые, направления), выявляющие геометрическую структуру многообразия по отношению к заданной группе преобразований. Таким образом для того чтобы инвариантные по отношению к группе свойства имели геометрическое значение, нужно, чтобы лежащее в основе многообразие было однородно.
Риманова Д. г. Исходя из нек-рой определенной поверхности с заданным мероопределением, можно путем изгибания получать новые поверхности, причем все они имеют одно и то же мероопределение, одну и ту же первую основную форму. Эту идею можно выразить иначе, исходя из т. н. проблемы вмещения.
Плоскость может быть дана независимо от ее вмещения в пространство, она является при этом нек-рым двумерным непрерывным многообразием с заданным внутренним (Евклидовым) мероопределением в нем. Совершенно так же мы можем представлять себе независимо всякое другое двумерное непрерывное многообразие с заданным внутренним мероопределением. На основании проблемы вмещения можно при этом показать, что всякое такое непрерывное двумерное многообразие, заданное положительной определенной метрической формой, можно реально вместить в Евклидово трехмерное пространство; в силу своих собственных метрических соотношений Евклидово пространство распространяет эти метрические соотношения на нашу поверхность. Как часто выражаются, мы реализуем таким образом нашу поверхность. Однако эта реализация является очень нереальной, т. к. она приписывает Евклидову пространству абсолютное существование или по крайней мере абсолютную предпочтительность. Здесь скрыта осознанная или неосознанная основная мысль римановской концепции. В своей диссертации «Uber die Hypothesen, welche der Geometric zu Grunde liegen» (1854) Риман исходит из n-мерного непрерывного многообразия элементов (точек), т. е. из такого многообразия, к-рое определяется п непрерывно изменяющимися числами Xi, х2, ...» хп. Такое многообразие Риман называет метрическим, если оно обладает мероопределением. Риман требует в частности, чтобы это мероопределение «в бесконечно-малом» совпадало с Евклидовым n-мерным мероопределением.
Метрический тензор (см.) этого многообразия имеет стало-быть вид: п ds2= 2(? г7«(*1, ...» xn) dxidxk (14) i,
и обладает инвариантным геометрическим значением как форма метрических соотношений пространства. Величины Gr//C (хп х2...... хп) являются компонентами метрического тензора (14) и при изменении системы координат конечно меняются, тогда как форма (14) при этом остается неизменной. Отметим здесь, что система координат xlfxit..., хп с самого начала является случайной, т. е. не имеет никакого геометрического смысла. Геометрический смысл имеет только совокупность систем координат, к-рые служат для описания метрических соотношений многообразия и которые можно получить, из одной произвольной системы координат при помощи однозначных, непрерывных и имеющих непрерывные производные преобразований. Выделить определенную систему координат можно только на основании метрического соотношения (14), как это например делается в Евклидовой геометрии, где Декартовы координаты имеют инвариантный геометрический смысл; именно — поверхностих&= Const (k=1, 2,..., п) являются в этом пространстве семейством гиперплоскостей. Рассматриваемое с этой точки зрения Евклидово трехмерное пространство является частным случаем Риманова метрического пространства. Общее n-мерное Риманово пространство только «в бесконечно-малом» является Евклидовым (плоским), в целом же оно является искривленным. Риман разыскал также меру этой кривизны, определяющейся т. н. Римановым тензором кривизны.
Этот тензор в данной точке Р и для определенного положения, определяемого двумя векторами { dx^ j> и дх^}, связан с Гауссовой кривизной двумерного геодезического
