на исследуемой поверхности S две точки М и М' с координатами и, и и u+du, v+dv; при этих обозначениях координаты х, у, z точки М получат при переходе к точке М' след, приращения:, dx, . дх,, ду, ду, dx = ~ du+ — dv; dy=~du+~dv; du dv du dv, dz,, dz,
d7 = ^du+95d0-
(6)
Соединим теперь наши точки М и М' какой-нибудь кривой линией С. Дифференциал ds дуги этой кривой будет очевидно определяться след, выражением: ds* = dx* 4 — dy* + dz* или, в силу формул (6): ds* = Edu* + 2Fdu dv + Gdv*, (7) где
(£) <’•> Так. обр. квадрат дифференциала дуги кривой линии на поверхности является однородной квадратичной формой от дифференциалов криволинейных координат. Эту форму наз. первой квадратичной формой поверхности. Этот основной результат был установлен Гауссом и лег в основание всей систематической теории поверхностей, ибо все геометрические свойства фигур, лежащих на поверхности, или, что то же, вся геометрия поверхности определяется первой квадратичной формой.
Гаусс сделал и дальнейшие шаги в развитии геометрии на поверхности. Он изучил зеодезические линии (см.) поверхностей, фигуры, образованные геодезическими линиями, и ввел понятие о геодезической кривизне (см.).
Для изучения ряда других вопросов геометрии поверхностей, в частности для изучения кривизны линий, проходящих через данную точку поверхности, Гауссом была введена в Д. г. помимо 1-й квадратичной формы (7) еще нек-рая другая квадратичная форма. Изучение кривизны линий, проходящих через одну и ту же точку поверхности, сводится к изучению кривизны нормальных сечений поверхности, проходящих через рассматриваемую точку (см. Менъе теорема).
Если через du и dv мм обозначим те приращения криволинейных координат точки М, к-рые соответствуют переходу'по рассматриваемому нормальному сечению от точки М к бесконечно-близкой точке Мто радиус кривизны R этого нормального сечения определяется формулой: 1___Ddu* + 2D' dudv + D"dv* R~~ Edu24 2Fdudv + Gdv*~* ' ' Величины D, D', D" даются формулами: I d*x dx dx I I d*x dx dx I & _ I du* ’ du * dv I e _ |dudv* du’ dv | .
VEG-F* ’
VEG-F* I d*x dx dx I J0”2’ ди' og_|;
Veg — f2 квадратичная форма Ddu* + 2I)'du dv + D"dv* и есть вторая квадратичная форма поверхности. Таким образом с каждой поверхностью мы можем связать, следуя Гауссу, две квадратичные формы. Коэффициенты этих форм являются вполне определенными функциями криволинейных координат и и v.
Совершенно так же, как и кривая, поверхность может иметь в различных своих точках различное искривление. Чтобы оценить степень искривления поверхности — ее кривизну, — Гаусс ввел в Д. г. чрезвычайно плодотворное понятие о сферическом изображении поверхности. Рассмотрим в произвольно выбранной точке М поверхности S нормаль; проведем через начало координат прямую А параллельно этой нормали. Точку т пересечения прямой Д со сферой радиуса 1 и с центром в начале координат Гаусс называет сферическим изображением точки М поверхности. Таким путем всю поверхность S можно отобразить на сферу Гаусса и получить ее сферическое изображение.Если через X, У, Z мы назовем направляющие косинусы нормали с осями координат, то координаты точки т будут X, У, Z. Обозначим линейный элемент сферического изображения через da-.
da* = edu*+2fdudv +gdv*, (Ю) где (dX\* 1дХ дХ\ (дХ\2 .... е~ jS (du) ; \du ’ dv ) ’ (d?) * Квадратичная форма (10) называется третьей квадратичной формой поверхностей.
VI 2
XI
Вернемся теперь к выяснению понятия о кривизне поверхности. Окружим произвольную точку М поверхности маленькой замкнутой кривой Эта кривая охватит площадь величины = F2 dudv.
Отобразим теперь кривую £ на сферу Гаусса. Мы получим около точки т маленькую замкнутую кривую а, окружающую эту точку.
Величина do площади этой кривой будет равна da — Veg — f2 du dv,
Гаусс вводит в качестве меры кривизны к поверхности в точке М отношение: &=£.
da
В функции коэффициентов 1-й и 2-й квадратичных форм кривизна приобретает след, вид: К
EG-F*'
Гаусс доказал замечательную теорему, что то же самое число к может быть выражено в функции исключительно коэффициентов первой квадратичной формы.
Далее можно определить радиусы кривизны Rx и В2 нормальных сечений, касающихся Линий кривизны, т. е. имеющих экстремальные (наибольшее и наименьшее) значения. Эти величины и R2 носят название главных радиусов кривизны. поверхности в данной точке. Можно сказать, что Гауссова кривизна поверхности равна обратной величине произведения главных радиусов кривизны. Эйлер для измерения кривизны поверхности брал величину 2 (в7 + в;)‘
(12)
В настоящее время за этой величиной Н сохранилось название Эйлеровой, или средней кривизны.
Необходимо отметить, что изложение всей Д. г. можно также провести, не пользуясь квадратичными формами Гаусса, а путем кинематического метода Дарбу.
Изгибание поверхностей. Необычайно важное влияние на развитие Д. г. в 19 и в нач. 20 вв. оказала задача Гаусса и Миндинга об изгибании поверхностей. Возьмем какую-нибудь поверхность S: х = р(и; v); y = y>(ul v); # = х(и, v) и допустим, что она осуществлена из гибкого и нерастяжимого материала. В силу этого, если рассматриваемый кусок поверхности мал по своим размерам, его можно изгибать, придавая ему различные формы. При таком изгибании длины всех линий на поверхности, а следовательно и углы не будут меняться. Следовательно задачу изгибания поверхности можно охарактеризовать как такое преобразование поверхности, при котором первая квадратичная форма (7) не меняется, или как преобразование, не меняющее геометрии поверхности.
Вся теория изгибания поверхностей разделяется на две части. В первой части исследуется 20*
