ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯметодов Д. г. преодолевает путем их синтеза в так наз. методе компонент. Сущность этого метода' заключается в следующем.
Возьмем в Евклидовом трехмерном пространстве систему координат, нацр. ортогональную Декартову, к-рую мы обозначим посредством л? 1, ж2, х3. Вектор А, проведенный в этом пространстве, имеет в этой системе 3 компоненты: А19 А2, А3, причем = %1Ъ (^=Д> 2, 3), (1) где х1Ъ, х2Ь, хзъ суть координаты конечной точки <8, а ж1а, ж2а, хза — координаты исходной точки R вектора А.
Если заменить данную прямоугольную систему координат ®i, х2, х3 другой прямоугольной системой ®i, х2, х'3, то в этой новой системе изменятся соответственно и компоненты вектора А.
Чтобы найти эти новые компоненты Al9 А29 А3 вектора А, необходимо прежде всего знать формулы преобразования этой координатной системы; на основании этих формул можно легко найти формулу преобразования вектора А, исходя из геометрической его величины.
Если х19 х2, х3 суть координаты точки Р в системе xi9 х2, х3, а х'19 х2, х3 — координаты той же точки Р в системе х'19 х'2, х3, то формула преобразования координат точки Р такова: з
Xi = 2 а,*®* + bi (1 = 1, 2, 3),
(2)
где aik, bi — постоянные числа (см. Геометрия).
Из^формул (1) и (2) следует: з
A'i = 3 а«А-
(3)
fe=l
Зная компоненты вектора А в системе (х19 х2, х3) и формулу преобразования (2) новой системы (®i, х2, х3), можно найти и компоненты вектора А в новой системе. Эти рассужде ния правильны для любой координатной системы: сферической, цилиндрической и т. д. Ясно, что при всяком изменении системы координат компоненты одного и того же вектора изменяются соответственным образом, и формула (3) преобразования компонент является критерием того, что три новые компоненты в новой системе координат изображают начальный вектор. В этом рассуждении стало-быть вектор является чем-то первичным, геометрической величиной, а компоненты дают лишь метод для характеристики вектора в зависимости от той или иной системы координат. То же относится и ко всем остальным геометрическим величинам, тензорам и т. п. Те направления в новой геометрии, которые стремятся полностью изгнать из геометрии протяженные величины и к-рые характеризуют векторы и тензоры только через их компоненты, преобразующиеся по определенным законам при изменении системы координат, причем векторам и тензорам не соответствуют никакие определенные протяженные величины, — являются формальными, идеалистическими даже в случае, если ссылаются на то, что их определения выявляют сущность понятий «вектор» и «тензор». Мы можем рассматривать наш метод компонент лишь как метод, позволяющий нам выявить в определенной системе координат существенные стороны протяженных величин.
Наряду с этим аналитическим способом изображения экстенсивных величин существует и другой, так называемый синтетический метод, основы которого заложил Грассман («Ausdehnungslehre», 1844); в последние годы Б. С. Э. т. XXII.он разработан Скаутен-Стрьюком и Бурали-Форти. Этот метод пока что не в состоянии ясно и просто изобра* жать сущность геометрических соотношений (см. Векторное исчисление).
Для изучения геометрических свойств фигур Д. г. пользуется методом инвариантов,'зада чей которого является вскрытие существенных свойств, характеризующих геометрический образ. Среди этих задач в последнее время приобрела большое значение задача о разыскании полной системы инвариантов, т. е. системы инвариантных свойств геометрического образа, к-рые характеризуют образ как таковой (независимо от его положения в пространстве). Ясно, что эта проблема имеет чрезвычайно важное значение для систематического изучения геометрических образов и что она является важнейшей предпосылкой для исследования свойств и закономерностей геометрических фигур. С алгебраической точки зрения эту задачу часто рассматривают как задачу о выводе из полной системы инвариантов всех остальных инвариантов. Но при геометрических исследованиях всегда будет важно, исходя из определенных условий задачи, произвести нек-рый отбор инвариантов, произвести некоторые построения, которые как-раз и дают возможность провести алгебраический и геометрический вывод. Хороший пример этого дает элементарная геометрия треугольнику, в к-рой, исходя из полной системы инвариантов (напр. двух сторон и заключенного между ними угла), строят всю геометрию треугольника. В пространственной геометрии полной системой инвариантов кривой являются ее кривизна и кручение, рассматриваемые как функции от длины дуги. Это значит, что кривизна и кручение как функции от длины дуги определяют в Евклидовом трехмерном пространстве кривую вплоть до ее положения или положения и зеркальной симметричности совершенно так же, как две стороны и заключенный между ними угол треугольника полностью определяют его до положения в пространстве. Эти инвариан. ты образуют основу всей геометрии кривых.
Метод бесконечно-малых ихарактеристика геометрии «в малом» и «вбольшом». Если мы хотим изучать кривые образыто с самого начала ясно, что мы можем применять метод бесконечно-малых, выявляющий существенные стороны этих образов. Его сущность заключается в том совершенно элементарном факте, что кривой образ в малом участке ведет себя так же, как плоский, но только приближенно, и это приближение становится тем более точным, чем меньше соответствующий участок. Правда, чем меньше рассматриваемая область, тем меньше выявляются в этой бесконечно-малой области существенные свойства всей фигуры в целом.
Однако этот бесконечно-малый участок является частью целого и стало-быть связан со всей фигурой. Эта связь может быть многообразна, но во всяком случае метод бесконечно-малых должен охватить это противоречие между «бесконечно-малым» и его связью с целым в некотором синтезе, который должен дать нам возможность из поведения фигуры в «бесконечномалом» делать заключения о ее поведении в некоторой определенной окрестности этого «бесконечно-малого». Освобожденное от связи с образом это «бесконечно-малое», к-рое как изолированный элемент не отражает уже никаких структурных свойств образа, связывается т. о. с целым закономерной связью. Это в основном 20
