ДИНАМИКАIII. Динамика свободных материальных точек.
Третий закон Ньютона — закон равенства действия и противодействия. До сих пор из лагались закономерности движения одной материальной точки. Мы переходим к рассмотрению движения системы из п материальных точек. Силы, действующие на материальную точку, рассматривались как в нешниепо отношению к ней. При наличии системы материальных точек мы не можем при рассмотрении этой системы как целого отвлечься от сил, действующих между точками, составляющими систему.
Силы эти будут действовать и при • отсутствии сил внешних по отношению к системе, т. е. исходящих от тел, к системе не принадлежащих. Закономерности взаимодействия материальных точек, принадлежащих к одной системе, даны в третьем законе Ньютона. В Д. одной материальной точки силы рассматриваются как заданные функции положений и скоростей этой одной точки по отношению ко всем остальным телам, причем эти функции не подлежат никаким общим ограничениям. В Д. же систем, состоящих из нескольких материальных точек, приходится устанавливать известные соотношения между силами, действующими на отдельные материальные точки. Явления небесной механики делают особенно естественным предположение, что сила fi9 действующая на материальную точку слагается из компонент, действующих по прямым, соединяющим массу с остальными массами. Это выражают так: сила Д-, действующая на материальную точку шг-, имеет своими источниками остальные массы т19 т2,..., жг+1, ..., ти и слагается из сил, производимых каждой из этих масс в отдельности. При этом напр. сила, действующая со стороны массы тгна массу Шу, действует по прямой, соединяющей эти массы. Это предположение называют гипотезой о центральных силах. При этом уже Ньютон сделал предположение, что силы, в к-рых выражается воздействие двух масс друг на друга, имеют одно и то же значение, но противоположное направление, причем оба они действуют по прямой, соединяющей массы. Так. обр. сумма их в смысле векторного сложения равна пулю. Это предположение, которое подтвердилось например при изучении движения небесных тел, получило уже у Ньютона название закона равенства действия и противодействия. Если мы положим, что оно справедливо для всех точек системы и что кроме этих сил, производимых телами системы, в ней нет никаких других сил, т. е. что система является «замкнутой», то векторная сумма всех сил, действующих на точки системы, т. е. их результирующая f — t\ + f2 + ... + fn, равна нулю.
Уравнения движения и теорема импульсов.
Рассмотрим теперь п материальных точек с массами mlf m2, ж3, ..., ши. Пусть координаты г-й точки по отношению к инерциальной системе будут жг-, yi9 zi9 а действующая на нее сила имеет компоненты fiy9 fiz. Ньютоновы ур-ия движения, к-рые для отдельной материальной точки задавались равенствами (1), (2), теперь принимают вид:
~~ fiz* (22)
~dtT — tty* ИЛИ
тщ = f
'
(22a)Под результирующей всех сил /г-, действующих на отдельные точки, мы понимаем силу F, компоненты к-рой представляют собой сумму соответствующих компонент сил, действующих на отдельные точки, т. е.
^Х = fix 4“ f2х + • • • 4" fnxi Fy — fly-\- f2y 4" 4“ • • • 4“ fny > ^z — fiz 4; fzz 4- ... 4 — fnz(23) Результирующий силовой вектор F получается таким образом из отдельных векторов как векторная сумма (по закону параллелограма), т. е.
F=f1+f2+... + fn.
(23а) Мы вводим далее понятие о центре тяжести или центре масс наших п материальных точек, разумея под ним точку с координатами £, у, С, определяемыми равенствами: Ж =; ш1х1 + т2х2 4-... 4Му = +
44- ... 4- ^пУп9 МС = + т2£2 4+ ... 4-^м, (24) где М есть общая масса системы (сумма масс всех точек). Подобным же образом мы вводим общий импульс или общее количество движения системы как вектор бг, компоненты к-рого GX9 определяются равенствами: Gx + ... + тп^, % + ... +
Gy = ™i ЧГ +
Gz =
+ т2
(25)
+ ... +тп^-
Если теперь мы будем во все время движения системы рассматривать также и движение ее центра тяжести, то последний обладает скоростью, которая задается вектором с компонентами: + ^44 и т — д- <26> Если представить себе, что вся масса системы сосредоточена в ее центре тяжести, то Ms есть вектор с компонентами Msx, Msy9 Msz, т. е. вектор, равный общему импульсу G системы.
Так. обр. общий импульс системы всегда имеет такую величину, как если бы вся ее масса была сосредоточена в центре тяжести. Складывая соответствующие данной оси ур-ия движения (22) для всех точек системы и принимая во внимание выражения (25) для компонента общего импульса, мы получаем теорему об импульсах: dGx_ тт» .
dGy_ гл .
dG3_ т-,
/974
смысл к-рой заключается в том, что приращение общего импульса равно результирующей всех сил. Вводя координаты центра тяжести из уравнения (24), мы получим теорему о центре тяжести:
к-рая показывает, что центр тяжести системы. движется так, как будто в нем сосредоточены все массы и все силы.
Если нет внешних сил, действующих на рассматриваемую систему (Fx= Fy= Fz=0), то теорема об импульсах, "выражаемая равенством (27), принимает вид Gx= Const, Gy = Const, Gs=Constn превращается в теорему о сохранении импульса, к-рая справедлива для всякой замкнутой системы, в которой справедлив закон равенства действия и противодействия-
