ДИНАМИКАверхностями являются сферические поверхности с центром в М. В случае однородного поля тяжести эквипотенциальными поверхностями являются горизонтальные плоскости. Во всех случаях, где существуют эквипотенциальные поверхности, можно определить такую функцию у, z), которая сохраняет постоянное значение на каждой из этих поверхностей.
Тогда ур-ие (ж, у, = Const очевидно и есть ур-ие эквипотенциальной поверхности. Всякая функция V (у>) также остается постоянной на каждой такой поверхности. Если выбрать эту функцию V так, чтобы падение V по нормали к поверхности, т. е. по направлению силы, как-раз равнялось величине силы в данной точке, то функцию V [у> (ж, у, я)] называют потенциалом поля, а о поле говорят, что оно имеет или допускает потенциал V. В ф-лах это выражается так. Если Fx, Fy, Fz суть компоненты силы V по трем координатным осям, то, выбрав знак V так, чтобы величина V всегда уменьшалась по направлению силы, имеем F* ~ ~
’ F, y~
ду’ Fs~
dz'
или в векторной форме F = - grad 7.
(9) Работа и энергия. В статье Энергия (см.) было показано-, что понятие энергии неразрывно связано с превращением одной формы движения в другую; там же разобран вопрос ю потенциальной и кинетической энергии в •механике. Отсылая к этой статье, изложим здесь количественные законы. Когда на материальную точку действует сила, задаваемая вектором Д и эта точка перемещается на некоторый отрезок, изображаемый вектором з, сила f совершает на пути з работу fs cos <р, где / есть величина силы, $ — длина пути, а <р — угол между направлениями пути и силы. Если зх, sy, sz суть компоненты s по трем осям, то, пользуясь символикой векторного исчисления, можно написать выражение для работы, как скалярного (внутреннего) произведения двух векторов, в виде fxsx fySy 4 — fzsz. Если сила во время движения меняется, то для определения работы нужно рассматривать лишь настолько малый отрезок пути, чтобы за время его прохождения можно было считать силу постоянной.
Работа dA, совершаемая на таком «элементе пути» с компонентами dx, dy, dz, определяется формулой dA = fxdx + fydy + fzdz.
(10) Для того чтобы совершенная силой работа была положительна, нужно, чтобы хоть одна из ее компонент действовала в направлении движения материальной точки. Умножая каждое из ур-ий движения (2) на соответствующую dx dy dz компоненту скорости — п u>I, UL I — п ul и складывая эти три равенства, получаем: (dx d*x, dy d*u ™\dt dt* + dt dt* dz d*z\, dx,, dy,, dz dt dt*) ~*xdt~thdt~t*zdti
«откуда следует:
dL — dA,
(11)
i-T-?[(s),+(S)’ + (S)’]-
<12>
где Величину L называют живой силой, или кинетической энергией материальной точки с массой т и скоростью v. Величина dA — есть работа, определяемая ур-ем (10). Ур-ие (11) говорит о том, что приращение кинетическойэнергии равно совершенной за это время работе, ибо, интегрируя ур-ие (11), получаем: 1
L1 — Le=j’dA.
(13) о
Здесь слева находится разность кинетич. энергий в начале и конце рассматриваемого процесса, справа — совершенная за время его работа. Если сила имеет потенциал, т. е. справедливо равенство (8), то для работы, совершаемой в рассматриваемом движении от его начальной точки до конечной, получаем выражение: JdA = ~f (Sdx + i£du + ^ de) = о
и 1 (14) = -<fd7=70—71.
о Работа зависит т. о. только от разности значений потенциала в начале и конце процесса, а не от пройденного пути. Ур-ие (13) запишется в виде: L1 + 71 = L0+F0.
(15) Сумма кинетической энергии L и потенциала V остается во все время движения постоянной.
Поэтому потенциал рассматривают как нечто однородное с кинетической энергией и называют его «потенциальной энергией», или «энергией положения». Сумма L4—7 называется «общей энергией» материальной точки, а закон, выражаемый равенством (15), носит название закона «сохранения энергии» для движения материальной точки. Силы, имеющие потенциал, называют «консервативными» силами (консервировать — сохранять). Если же мы имеем дело например с силами трения, где нетникакого поля и никакого потенциала, то закон сохранения энергии в строго механическом смысле не имеет места. Кинетическая энергия во время движения убывает без того, чтобы можно было указать какой-либо иной вид механической энергии (вроде потенциальной), получающейся взамен ее. Во всех этих случаях можно показать, что возникают другие виды энергии, например кинетическая энергия мельчайших частиц (молекул) или немеханические виды энергии, как электромагнитная энергия; возникновение их дает снова возможность формулировать и для этих случаев закон сохранения энергии. Простой пример изменения энергии при неконсервативных силах мы получаем, полагая в равенстве (2) fy = fz = ® и fx — — R~t, т. е. рассматривая силу трения, пропорциональную скорости. Тогда. из равенств (И) и (10) следует: dL== — R^dx = — R • dt, (16)
что свидетельствует о постоянном убывании величины L.
Уравнения движений по отношению к системе, не являющейся инерциальной. На ст. 433
мы видели, что законы движения сохраняют один и тот же вид по отношению ко всякой системе, движущейся прямолинейно и равномерно относительно системы неподвижных звезд. Если теперь ввести систему координат, к-рая вращается с постоянной скоростью вокруг неподвижной оси по отношению к системе неподвижных звезд, то путем простых геометрических рассуждений можно вывести из Нью-
