и по направлению. Покой мы рассматриваем как частный случай движения, и нарушение состояния покоя можем рассматривать как изменение скорости, приписывая состоянию покоя скорость, равную нулю.
Отклонение движения материальной точки от ее инерциального движения измеряется ее ускорением. ПоД ускорением разумеют приращение скорости в единицу времени. Ускорение должно выражаться направленной величиной, так наз. вектором (см.), как и сама скорость. Вектор ускорения является при этом тем вектором, к-рый нужно прибавить к скорости в данный момент, чтобы получить скорость по прошествии одной единицы времени; сложение при этом нужно понимать в смысле векторного исчисления, т. е. производить его по правилу параллелограма. Строго говоря, это определение относится только к случаю, когда ускорение в течение этого промежутка времени остается постоянным, т. е. только к случаю равномерно-ускоренного или равномерно-замедленного движения. В общем случае нужно рассматривать приращение скорости за очень малый промежуток времени и делить его на этот промежуток; в отношении полученного т. о. среднего ускорения за данный малый промежуток нужно еще сделать предельный переход к случаю все более и более малых промежутков времени, чтобы получить вектор ускорения для данного момента. На языке математического анализа говорят, что ускорение есть производная от скорости по времени (см. Векторное исчисление, Б. С. Э., т. IX, ст. 256—257).
Основным положением классической Д., восходящим к Ньютону, является утверждение, что все движения тел природы могут быть представлены с помощью законов такого рода: отклонение от инерциального движения, т. е., согласно сказанному выше, вектор ускорения по отношению к системе неподвижных звезд может быть выражен как функция положения и скорости рассматриваемой точки по отношению к остальным телам. Когда мы рассматриваем две различные материальные точки, то при одних и тех же внешних условиях, т. е. при одних и тех же положениях и скоростях по отношению к окружающим телам, они получают, вообще говоря, различный ускорения, но для одних и тех же двух материальных точек эти ускорения находятся в постоянном отношении, к-рое зависит только от самих точек, но не от их положения и скорости по отношению к окружающим предметам. Это отношение представляет собой отношение их масс (см.).
Сказанное находит себе выражение в следующих понятиях и равенствах. Нек-рую произвольную массу, обычно массу одного см* воды*при температуре в 15° и нормальном атмосферном давлении, определяют как единицу массы; ее называют массой одной) грамма.
Так как, согласно сказанному, равные массы при одинаковых условиях получают одинаковое ускорение, то материальная точка имеет массу в «один грамм», еЬли при одинаковых условиях она получит такое же ускорение, как центр тяжести 1 см* воды, и массу в т грамм, если ее ускорение относится к тому ускорению, которое получила бы в тех же условиях единичная масса, как 1 : т. Тогда произведение из массы и ускорения зависит только от положения и скорости соответствующей материальной точки по отношению к окру 432
жающим телам. Это произведение выражает силу (см.), с к-рой эти тела действуют на рассматриваемую материальную точку. Если вектор ускорения некоторой материальной точки мы обозначим через w, а вектор силы через f, то. все сказанное можно выразить формулой / (1) Если координаты материальной точки по отношению к системе прямоугольных осей, связанных с системой неподвижных звезд, мы обозначим через х, у, z, то для определения ее движения необходимо задание величин х, у, z как функций от времени t. Компоненты вектора ускорения по отношению к этим трем осям являются тогда вторыми производными от координат по времени, т. е. равны d 2x di2’
d2y dP’
d‘*z dt2’
Если компоненты вектора силы мы обозначим через fx, fy, fz, то для величин х, у, z как функций от времени t мы получаем следующие три дифференциальных ур-ия второго порядка: d2x е d2u e
d2z f zrkv Ш dt2 == W 'dt2 = m dt* ~ Их называют обычно уравнениями движения Ньютона.
Следует отметить, что данное выше на основании ур-ия Ньютона определение массы является формальным. Классическая механика считала массу постоянной характеристикой физического тела. Величина массы, согласно воззрениям классич. Д., не зависит от физич. состояний тела — от сообщенной телу энергии. Это является основа ной предпосылкой Д. Ньютона, и поэтому в ур-ии движения считают массу т не зависящей от времени и пишут: d . .
dv -(nw)=m--.
dt dt Теория относительности показала, что величина массы данного тела зависит от его физического состояния (от его энергии), и тем самым установила связь между энергией и массой (см. Энергия). Существенным для понимания физического смысла массы является то, что 0 массе тела можно судить только по характеру изменения движения тела. Поэтому масса тела тесно связана с импульсом (произведение массы на скорость), и нек-рые авторы (Ланжевен) определяют массу как «емкость импульса». Более подробно о массе см. Механика.
Теорема об импульсах. Если ввести понятие об импульсе или количестве движения, определив его как произведение из массы тела на вектор скорости, и импульс представить новым вектором, д с компонентами дх, д„, дггто Ньютоновы уравнения движения (1), (2) можно записать в виде: dg __ dt
или в компонентах dffx_ . day____г . dg2__, dt at ~~^9 dt
Ул\ VV
Это означает, что приращение импульса за единицу времени равно действующей силе.
Интегрируя равенство (3) от момента t0 до момента t19 получаем й £7i — ffo~ J* 7 dt) (5) to
или словами: приращение импульса за некоторый промежуток равно интегралу от силы по времени за этот промежуток. Эта формулировка особенно важна для случая, когда изменение скорости происходит настолько быстро, что математически задача решается наиболее просто в предположении, что оно происходит мгновенно. В этом случае можно применить ур-ие (5). Нужно только дать силе возможность принять достаточно большие значения для того, чтобы интеграл по времени в равенстве (5) имел конечное значение, хотя он прости-
