быть преувеличены (по сравнению с реальной действительностью) и тогда не нуждаются ни в какой фигуре: богатырь, выпивающий чару в полтора ведра, конь его, к-рый «реки-озера перескакивал, мелкие речушки промеж ног пускал», суть Г. — В области жанров Г. является основным приемом фантастической сказки (часто и героич. эпоса).
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, то же, что геометрия Лобачевского. Подробнее см.
Геометрия. Название связано с тем, что в основных соотношениях этой геометрии гиперболические функции (sin h х и cos h х) играют такую же роль, какая в обычной евклидовой геометрии принадлежит тригонометрии. (круговым) функциям (sin х и cos х).
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции, определяемые формулами: v ех + е~х cos hyp® = — ----, .
ех _ е-х
sin hyp® = — - — .
Первая из этих функций называется гиперболическим косинусом, а вторая — гиперболическим синусом. Г. ф. имеют такое же отношение к гиперболе, как обычные тригонометрические функции (косинус и синус) к окружности. Для всякого х, как вытекает прямо из определения, (cos hyp®) 2 — (sin hyp®) 2=l, что представляет аналогию известной тригонометрической связи cos2®4 — sin2®=l. Следствием этого соотношения является то, что точка с координатами х и у, движение которой в плоскости определяется законом х= =cos hyp t, t/=sin hyp t, имеет своей траекторией равностороннюю гиперболу с уравнением ®2 — з/2=1, совершенно подобно тому, как закон ®=cos t, y=sin t определяет движение по окружности. Отсюда непосредственно следует, что Г. ф. геометрически определяются из рассмотрения полученной равносторонней гиперболы по тем же правилам, как тригонометрические функции — из рассмотрения окружности радиуса 1. Аналогия простирается и дальше: для Г. ф. имеют место теоремы сложения, совершенно аналогичные соответствующим теоремам для функций тригонометрических, а именно: sin hyp (а+d) = sin hyp a • cos hyp b +cos hyp a • sin hyp b, cos hyp (a+b) = cos hyp a • cos hyp b+sin hyp a • sin hyp b, sin hyp (2a) = 2 cos hyp a «sin hyp a, cos hyp (2a) = (cos hyp a) 1-}- (sin hyp a) 1
и ряд др. аналогичных. Наряду с косинусом и синусом иногда вводят в рассмотрение т. н. гиперболический тангенс teS hvn® = cos sin hyp hypx — eeXx +~ e~ e~xx ' X“ В последнее время Г. ф. получили широкое применение в теории переменного тока.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОЙД, поверхность второго порядка, лишенная центра, все плоские сечения к-рой представляют разомкнутые кривые 2 — го порядка (параболу, гиперболу, пару прямых). Г. п. представляет собой линейчатую поверхность (см.).
Об основных свойствах Г. п., его уравнениии его положении в общей системе поверхностей 2 — го порядка см. Поверхность.
ГИПЕРБОЛОИД, центральная поверхность 2 — го порядка, дающая в сечении с плоскостями не только эллипсы, но и гиперболы.
Различается 2 вида Г.: одноX полый Г. (рис. 1) и двуполый Г. (рис. 2); они представляют два типа (из общего числа пяти основных типов поверхностей 2 — го порядка) и в пересечении со всевозможными плоскостями пространства да___ ют все типы конических сеРис 4 чений (эллипс, гиперболу и параболу). В случае Г. двуполого существуют плоскости, совершенно не пересекающие Г., однополый же Г. пепересекается с каждой плоскостью. Как однополый, так и двуполый Г. асимптотически приближаются (см. Асимптотическое приближение) к конической поверхности, первый — с его \iz'Z внешней стороны, а второй — с внутренней. Однополый Г. представляет собой линейчатую ’поверхность; через каждую ее точку проходят две прямолинейные образующие.
Рис. 2.
В двуполом Г. эти образующие мнимые. Об основных свойствах Г., их уравнениях и их положениях в общей системе поверхностей второго порядка см. Поверхность. Схема однополого и двуполого Г. с общим асимптотическим конусом, перенесенная в четырехмерное пространство, имеет большое значение в учении Эйнштейна-Минковского.
ГИПЕРБОРЕЙЦЫ, в греческой религии первоначально хранители сокровищ храма Аполлона, приносившие жертвы Аполлону и Артемиде. Выросшие из этого культа мифы о сказочном племени были использованы античными этнографами (Геродот) и авторами социальных утопий (см. Гекатей Абдерскии), которые построили на этих мифах представление о Г. как о «воображаемом» народе, живущем на краю света, т. е. на крайнем севере средиземноморского мира. — Современные этнологи условно — обозначают этим именем арктические племена, населяющие с.-з. Америку и с.-в. Азию.
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД, бесконечный ряд вида:
- +
f м?, х) = 1 + a(a-H) (а+2). Д(^ + 1) (Д + 2)
1 • 2 • 3 • у (у + 1) (у + 2)
,
удовлетворяющий гауссову дифференциальному уравнению: (х-х2) у" + [у-(1 + а + Р) х]у' = afiy.
Гипергеометрич. ряд включает в себя как частные случаи большое количество известных разложений функций в бесконечн. ряды. Например: при Р = у или a = /9 = 1 и у = 2 получаются извести, разложения функций (1 — х)~а log (1 - ®), Г. р. впервые был подробно изучен Гауссом (Gauss С. F.,
