ГИДРОМЕХАНИКАждан линия тока не образуется на всем своем протяжении одной и той же материальной частицей; кроме того, положение и вид линий тока также меняются с течением времени. Но если движение таково, что на место каждой частицы жидкости притекает другая частица с такой же по величине и направлению скоростью, то траектории частиц являются одновременно и линиями тока. Последние в этом случае не меняют ни своего положения, ни своей формы, и движение называется стационарным, или установившимся.
Описывать движение жидкости можно, однако, и иначе: можно следить за судьбой каждого элемента объема, состоящего из частиц жидкости. Эта судьба определяется указанием вектора скорости v в каждом месте.
Задание этого вектора осуществляется так, что вектор v или его компоненты vxi vy, vz задаются как функции точки, т. е. как функции от координат ж, у, z в соответствующей системе. Каждые три такие функции определяют нек-рое движение жидкости; выбор их ограничен только тем, чтобы движение не разрушало непрерывной связи между частицами жидкости внутри данного элемента объема. Математическ. формулировка этого ограничения называется уравнением непрерывности.
Это ограничение заключается в том, что плотность жидкости q и вектор скорости v должны быть связаны соотношением:
+ div (е«) = 0 или, в координатах: de d (№), д {Qvy) д (ovs) dt дх Ф ду "* dz и
k h Для несжимаемых жидкостей, в которых q постоdo _ янно, член Qi обращается в нуль, и условие принимает простой вид: или
div» = 0
Изменение, к-рое испытывает с течением времени элемент объема жидкости, можно разложить на две части: движение, к-рое он выполняет как одно целое, и изменения его формы и объема (см. Вихревые движения).
Само движение в свою очередь может быть разложено на поступательное, в к-ром отдельные точки элемента движутся с одинаковой скоростью по параллельным прямым, и вращение элемента вокруг нек-рой оси, проходящей внутри его. Когда это вращение отсутствует, движение называется безвихренным.
В этом случае возможно вращение всей жидкости в целом, но невозможно вращение отдельных ее элементов. Когда, Рис. з. например, вся жидкость как одно целое вращается вокруг некоторой неподвижной оси, то элементы, не лежащие на этой оси, очевидно, совершают только поступательное движение, элементы же, лежащие на ней, вращаются вокруг самих себя. Так. обр., если исключить из рассмотрения части жидкости, непосредственно лежащие на оси, то движение является без 730
вихренным. Такой случай может быть осуществлен, если дать жидкости возможность течь в пространстве между двумя цилиндрическими трубами, имеющими общую ось. При этом жидкость как одно целое вращается вокруг этой оси, к-рая сама не лежит в обтекаемой области. На рисунке 3 показаны поперечное сечение этих труб и линии тока. Такое движение жидкости, при котором, несмотря на безвихренный его характер, линии тока замыкаются, называют движением «с циркуляцией». При безвихренном и не-циркулярном движении линии тока могут оканчиваться только на твердых границах жидкости, т. е. на стенках и обтекаемых жидкостью телах. Безвихренное течение можно охарактеризовать введением т. н. потенциала скоростей 9?, являющегося функцией положения точки в жидкости. Все точки, в которых потенциал имеет одинаковое значение, лежат ' : на так назыв. экви; Tj Г потенциальн. по — Гвер хно стях, и можно сказать, что жидкость течет по нормалям к этим поверхноРис — 4стям из мест с более высоким в места с более низким потенциалом. П а дение потенциала,, т. е. изменение значения функции (р на единицу длины, равно по величине скорости частицы, которая, т. о., тем больше, чем ближе друг к другу расположены эквипотенциальные поверхности, соответствующие одинаковым разностям значений функции <р. Вектор, выражающий скорость движения, есть градиент (см.) функции <р. На рис. 4 показаны эквипотенциальные поверхности и обозначенные стрелками линии тока — для случая, когда жидкость течет по расширяющейся трубе.
Если в двух различных местах такой трубы поперечные сечения равны и /2, а соответствующие скорости — v1 и v 2, то в силу уравнения непрерывности для несжимаемой жидкости должно иметь место соотношение f1v1=f2v2, т. е. большему сечению должна соответствовать меньшая скорость.
Математическая формулировка сказанного такова.
Условие того, что движение является безвихренным, имеет вид: rot® = 0 или в координатах: dvg _ dvy _ dvx _ dvg = dvy _ dv^ = dy dz ’ dz дх ’ дх dy u v ' (см. Вихревые движения). Проведем в жидкости какую-нибудь кривую и возьмем линейный интеграл скорости вдоль нее: fa cos (v, ds) ds = J*(vxdx + Vydy + vzdz); здесь ds есть линейный элемент кривой с компонентами dx, dy и dz. Если кривая замкнута, то значение этого интеграла называется «циркуляцией» вдоль данной кривой. Согласно известным теоремам векторного исчисления (см.), этот интеграл равен нулю, если rott? = 0 на поверхности, ограниченной данной замкнутой кривой. Стало быть, при безвихренном движении циркуляция постоянно обращается в нуль, если для всякой замкнутой линии, проведенной в жидкости, можно построить ограниченную этой кривой поверхность, также целиком лежащую в жидкости. Для изображенного на рис. 3 случая течения жидкости в пространстве между двумя цилиндрами это не имеет места. Пространственные области, характеризующиеся тем, что в них можно провести такие замкнутые кривые, которые непрерывной деформацией не могут быть сведены в одну точку, если не выходить за пределы данной области, носят название многосвязных областей (см.). В таких областях
