ществить. Это сделали ученики Гильберта: Ден, Шур, Вален, Веблен и др. По этой же общей схеме, но не по замыслу Гильберта, а скорее в развитие идей Клейна, Гельмгольца и Ли построение системы евклидовой Г. было выполнено также В. Каганом («Основания геометрии», 1905). В наст, время совокупность относящихся к этому вопросу идей и фактов, систематизация посылок, служащих для обоснования евклидовой и неевклидовой Г., классификация этих посылок и сведение их к простейшей схеме составляют особую дисциплину — учение об основаниях геометрии (см.). — Другой, еще более глубокий и сложный вопрос, имеющий чисто философ, характер, это вопрос о том, что же собственно представляет собою Г. Уже самый факт возникновения различных Г. проливает на этот вопрос новый свет. По схеме Римана можно построить неограниченное число несводимых друг к другу геометрических систем, произвольно выбрав основную форму. Выйдя из тех границ, к-рыми оградил свой замысел Риман, и допустив, что основная форма может быть незнакопостоянной, Пуанкаре умножил даже число возможных пространств постоянной кривизны. Мюнц показал, что в трехмерном пространстве их может быть 27.
Эти системы растут очень быстро и принимают самые причудливые формы, не только сохраняя, но даже расширяя свое прикладное значение. Очень важно то, что Г. Евклида стоит не в стороне от этих систем, а занимает среди них определенное место простейшего частного случая. Совершенно ясно, что в основе этого построения лежит широкий произвол, заключающийся в свободном выборе постулатов при синтетическом построении той или иной Г. или в выборе основной формы при аналитическом его построении. Каждая построенная таким образом Г. выражает соотношения, имеющие место в тех или иных многообразиях. Прикладное значение каждой Г. зависит от того, в какой мере выражаемые ею соотношения существенны для изучения тех многообразий, для исследования к-рых она создана. При построении одних Г. выбором посылок руководили, как мы уже видели, те или иные задачи классической Г., аналогии и тенденции к обобщению в различных направлениях. Многообразия, в к-рых эти системы находят себе применение, были построены a posteriori. В других случаях указания для выбора посылок непосредственно черпались в наблюдении изучаемых многообразий. Здесь объект стоял в центре внимания до построения соответствующей геометрической схемы. Именно так, конечно, возникла классическая простейшая и важнейшая геометрическая система — Г. Евклида. Положения, лежащие в основе этой Г., выдвигались постепенно, путем созерцания физических тел, их формы и расположения.
Но схема остается схемой, и ее существенное отличие от чисто естественной науки заключается в многоразличности тех осуществлений, которые она может получить в применении к различным многообразиям. Г. представляет собой не только схему, служащую для описания тех или иных объектов (многообразий). Если постулаты, положенные в основу той или иной Г., правильновыражают соотношение нек-рого многообразия, то все выводы, из этих постулатов проистекающие, будут с такою же точностью выражать свойства, этому многообразию действительно присущие. Т. о., развертывание Г. есть в то же время мощное средство для изучения этого многообразия. Так как классическая Г. выражает свойства объектов, особенно часто встречающихся в природе, то Г. Евклида есть чрезвычайно мощное орудие изучения природы.
Те соотношения, к-рые мы изучаем средствами евклидовой Г., могут быть всегда выражены и исследованы также при помощи гиперболической Г. Мы видели, что гиперболическая Г. весьма малых образов совпадает с Г. Евклида. Однако, термин «малый» в объективном его значении не является строго установленным. Мы можем считать все протяжения, доступные в природе нашему наблюдению, весьма малыми по сравнению с размерами вселенной. Не обусловливается ли совпадение наших наблюдений с результатами евклидовой Г. только тем, что мы охватываем лишь незначительный уголок вселенной? С другой стороны, давая достаточно большое значение параметру к гиперболической или эллиптической Г., мы можем достигнуть того, что в пределах, доступных нашему измерению, ее результаты не будут отличаться от результатов евклидовой Г. — Так. обр., Г. представляет собою схему, служащую для выражения и изучения особого типа свойств различных многообразий. В зависимости от характера этих многообразий, для этой цели может применяться та или иная Г. Объекты и соотношения, в процессе изучения к-рых развивалась евклидова Г., особенно часто встречаются в природе и в прикладных науках; средства, к-рые она для этой цели дает, отличаются исключительной простотой.
Г. Эйнштейна-Минковского. Заканчивая свою лекцию, Риман отмечает, что его идеи стоят на рубеже Г. и физики и, в соответствии с этим, могут получить и в этой науке широкое приложение. Чрезвычайно глубоко продуманную попытку осуществить эти приложения сделал Эйнштейн. Геометрическая сторона построенной им теории относительности (см.), особенно оттененная Минковским, заключается в том, что мироздание, не в его статическом состоянии в определенный момент, а во всей его извечной динамике, Эйнштейн и Минковский рассматривают как многообразие, элемент которого определяется четырьмя координатами. В простейшем своем виде три из этих координат х2, х3 должны определять положение элемента в пространстве, а четвертая — I — во времени. Вместо этих простейших координат, может быть, целесообразно пользоваться четырьмя функциями от них: xi=<Pi(x1, x2txs, 0, г = 1, 2, 3, 4.
В этих новых координатах в определении «элемента мира»,«мирового момента», по Минковскому, пространство и время тесно спаяны между собой; существенно лишь то, что мир в этом его понимании представляет собой четырехмерное многообразие. — Руководясь тем, что гравитационные силы в мире
