нужно указать многообразие, совокупность объектов, реальное существование к-рых не вызывает сомнений и в применении к к-рым эта система положений справедлива. То, что получает реальное осуществление, не может содержать в себе противоречий. Именно тогда, когда была установлена система объектов, по отношению к к-рым гиперболическая Г. справедлива, исчезли сомнения в ее логической правильности. Однако, и здесь оставалось слабое место. В отношении гиперболической Г. эта система образов найдена в недрах евклидовой Г. Отсюда вытекает, что гиперболическая Г. справедлива в той же мере, как и Г. Евклида. Где же объективное доказательство логической правильности самой евклидовой Г? Удостоверением этой правильности служит, конечно, ее неизменно оправдывающееся осуществление на неисчислимых реальных объектах, к которым мы ее применяем и от к-рых она была первоначально отвлечена. Как ни сильна эта аргументация, она имеет все же слабые стороны. Во всех этих объектах Г. Евклида осуществляется лишь приближенно, и возникает вопрос: нельзя ли установить такое многообразие, в котором Г. осуществляется полностью. Эту роль сыграли аналитические пространства, т. е. пространства, элементами к-рых служат системы чисел. Мы выше показали, как может быть построено аналитическое пространство, в к-ром полностью осуществляется Г. Евклида; такие же аналитические пространства могут быть построены для всех известных нам геометрических систем. Удостоверение логической правильности геометрической системы сводится, т. о., к арифметизации, оно опирается на достоверность арифметики, выходя за пределы Г. и перенося рассуждения в дисциплину, более общую, но по строению своему гораздо более простую. О существующих доказательствах непротиворечивости геометр, систем можно сказать, что они делают Г. достоверной постольку, поскольку достоверна арифметика.
Тенденция заключается в сведении более сложного построения к более простому; но она естественно ведет к разысканию исходных положений самой арифметики. В этом направлении философская мысль продолжает работать в поисках тех положений, на к-рых покоится вся современная математика. И для математики и для теории познания необычайно важно отодвинуть эти положения до простейших элементов и там искать их источники. Современная теоретическая арифметика имеет уже в этом направлении чрезвычайно глубокие достижения. Но в одном отношении не следует заблуждаться: те последние камни, на к-рых покоится все здание современной математики, в существовании к-рых кроется конечное удостоверение ее логической правильности, суть все-таки настоящие камни, — может быть, очень тонкие, но все же реальные материальные объекты наших ощущений. Абстрактная мысль, тонкая цепь соглашений и умозаключений играет в этом деле всю созидающую роль; но она почерпает для нее материал в мире реальных вещей и имеет своей задачей применение всей системы к реальным вещам.
Именно то обстоятельство, что непосред 380
ственное применение интуиции, старого «созерцания» Ганеси доводится до простейших, уже тривиально ясных элементов, порождает у нек-рых тенденцию эту интуицию, это обращение к материальному миру как источнику и цели математического познания, вовсе устранить. Глубокая иллюзия. «В рассуждениях, направленных к доказательству постулата о параллельных линиях, — писал Гаусс Больяй-отцу, — часто упускается из виду тривиальная мелочь; но при тщательном обсуждении оказывается, что в этой мелочи вся суть дела». Построение математики может быть основано на тривиально-простых утверждениях; но установление логической правильности этих тривиальных положений не может быть выполнено вне связи с опытом.
В этом основном моменте кроется ее ненарушимая связь с материальным миром. — Построение неевклидовой Г. сыграло в деле обоснования Г. еще одну важную роль. Развертывая чисто логическими средствами геометрическую систему, к-рая расходилась с непосредственными указаниями интуиции и в к-рой чертеж неизбежно играл меньшую роль, чем в классической Г., невозможно было обойтись без строгого обоснования многого, что прежде указывалось глазом. Понятия «внутри», «вне», «между» подверглись анализу, как раньше было подвергнуто анализу понятие о движении. Этот анализ всякий раз устанавливал, какими свойствами каждого из этих понятий мы в геометрическом рассуждении действительно пользуемся. Так накоплялись идеи и опыт для действительного обоснования Г. К самому концу 19 в. и эта задача стояла у своего завершения. Ставилась она теперь следующим образом. В основу геометрической системы должен быть положен ряд непротиворечивых и независимых посылок. Если всего этих посылок есть п, то для обоснования их непротиворечивости и независимости должно быть построено п+1 вспомогательных аналитических пространств. Одно из этих пространств должно представлять собой осуществление всех п посылок и т. о. служить для доказательства непротиворечивости системы. В каждом из п остальных вспомогательных пространств должны осуществляться п — 1 посылок, а n-я посылка в нем должна быть несправедлива; этим устанавливается независимость последней посылки от совокупности остальных. Такими рассуждениями устанавливается, так сказать, необходимость принятой системы постулатов; установить ее достаточность — значит обнаружить, что эти посылки действительно дают достаточное средство для логического построения Г. Чтобы это обнаружить, надо это логическое построение действительно выполнить. По этому замыслу в 90 — х гг. уже строили свои системы итальянские геометры Пеано, Пьери, Фано, Энрикес. В 1899 появилась работа Гильберта «Основания геометрии» (D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie), в к-рой были отчетливо формулированы изложенные выше идеи и была предложена система, состоящая из пяти групп независимых постулатов, достаточных для обоснования евклидовой Г. Нужно было еще много труда и внимания, чтобы этот замысел действительно полностью осу-
