ства — оптические, магнитные и механические — в каждой точке различны для различных направлений, и основн. свойства риманова пространства меняются от точки к точке и от направления к направлению. В римановом пространстве в различных направлениях (точнее — в различных площадках вокруг каждой точки) меняет свое значение нек-рая геометрическая величина, выражающаяся через коэффициенты основной формы и ее производные первого и второго порядка; эту величину Риман назвал кривизной пространства в соответствующем двумерном направлении.
Чрезвычайно частные случаи представляют собой те римановы пространства, в к-рых кривизна в каждой точке не меняет своего значения от направления к направлению.
Как показал Шу р, в таких пространствах кривизна не меняется и от точки к точке; это — пространства постоянной кривизны, которые можно назвать изоморфными, или однородными. В них и только в них возможны движения с п (g+1) степенями свободы (п — -число измерений пространства); только в них можно говорить о конгруентности, о группе движений. Если эта постоянная кривизна равна нулю, то риманово пространство обращается в евклидово. Если эта кривизна имеет постоянное отрицательное значение — , мы получаем гиперболическое пространство, при чем число к и есть та характерная для пространства постоянная, к которой пришли иным путем и Гаусс, и Лобачевский, и Больяй.
Возможны и римановы пространства с постоянной положительной кривизной . Они имеют свою Г., к-рую часто называют римановой в узком смысле слова или эллиптической, в противоположность гиперболической. Прототипом эллиптической Г. служит Г. сферы, но эта ее интерпретация пригодна только для двумерного пространства. Между тем, возможна эллиптическая Г. пространства любого числа измерений. В этом пространстве вовсе нет параллельных линий, все его расстояния ограничены, каждая прямая замкнута и имеет постоянную длину, как окружность большого круга на сфере; каждые две прямые пересекаются в двух полярных точках; сумма углов в треугольнике всегда больше двух прямых. Очень замечательно, что именно в эллиптическом пространстве проективная Г. может быть построена более стройно, чем в евклидовом.
Ряд исследователей (Бельтрами, Христофель, Липшиц, Фосс, Киллинг, Шур) еще в 80 — х гг. прошлого века многообразно развили замысел Римана. К концу 19 в. Бьянки дал систематическое аналитическое построение Г. пространств постоянной кривизны.
Точка зрения, на к-рой в свое время стоял Клейн, заключалась в том, что в основе всякой Г. лежит группа преобразований, осуществляемых его движениями. Эта точка зрения обстоятельно изложена Клейном в его вступительной лекции в Эрлангене, получившей широкую известность под названием Эрлангенской программы (1872); ее широко развил Софус Ли. По воззрениям Клейна — 376
Ли, Г. представляет собой изучение того, что остается неизменным при движениях, имеющих место в пространстве; задача Г. заключается в установлении той совокупности инвариантов группы движений в пространстве, которая количественно характеризует различные образы пространства. Эта точка зрения охватывает только пространства постоянной кривизны; точка зрения Римана неизмеримо шире, она охарактеризована Христофелем и Липшицем следующим образом: риманова Г. определяется основной квадратичной формой; когда мы переходим от одних координат к другим, то при этом преобразовании меняет свой вид и основная форма. Риманова Г. устанавливает те величины, к-рые при этом преобразовании не изменяются, к-рые выражают, стало быть, внутренние свойства пространства, не зависящие от выбора координат. Риманова Г. есть учение об инвариантах всевозможных преобразований основной квадратичной формы. Риманова Г. шире, но то, что выигрывается в объеме, теряется в содержании. Риманова Г. того времени неизбежно ограничивалась кругом более общих идей и не получила того развития, какое получила в трудах геометров от Лобачевского до Бианки Г. пррстранств постоянной кривизны.
Мы видим, т. о., что Г., вступившая в 19 в. с уже обширным материалом и разнообразными методами исследования, чрезвычайно видоизменилась. Классическая Г. к концу 19 в. удержала за собой лишь небольшой участок, хотя все же основной по своему значению- — командную вершину.
VI. Геометрия 20 века.
Топология. Истекшие годы 20 в. не только подводили итоги всему этому обширному циклу идей, но дали новое их развитие, новые применения, к-рые довели их до расцвета. Прежде всего, 20 век принес новую ветвь Г. Нельзя сказать, чтобы она в 20 веке возникла. Но подобно тому, как проективная Г. создалась из разрозненных материалов, скоплявшихся с Дезарга в течение двух веков, так из многообразных отрывочных идей, рассеянных по всей истории Г., в 20 в. складывается особая дисциплина — топология. В понимании Клейна-Ли Г. есть учение о тех свойствах образов, к-рые не изменяются при движениях; это есть Г. недеформируемых образов. Г. Гаусса — Римана изучает все те свойства пространственных образов, которые остаются инвариантными при изгибаниях, т. е. при таких деформациях геометрических образов, при которых сохраняется их метрика — длины и все другие величины, длинами определяемые. Существуют, однако, геометрические свойства, которые сохраняются при неизмеримо большем просторе допускаемых деформаций. Сюда относится, например, инцидентность, т. е. принадлежность одной части образа другой.
Представим себе, что мы на сфере проводим окружность. Она разделит сферу на две области I и II; пусть точка К принадлежит части I (инцидентна с областью I). Станем подвергать сферу деформации, не считаясь с тем, что мы будем при этом растягивать или сокращать длину ее линий, лишь бы эта де-
