это выражается так: в группе преобразований каждые две точки имеют численный инвариант. Других инвариантов нет, ибо все метрические свойства определяются расстояниями. Этим группа движений вполне охарактеризована. Совокупность движений в Г. фигурирует только как транзитивная группа преобразований, в к-рой две точки имеют численный инвариант, а других независимых инвариантов не существует. Известные формулы преобразования декартовых координат от одной ортогональной системы к другой представляют собою не что иное, как аналитическое выражение этой группы преобразований в евклидовом пространстве. Развивая эту идею, Клейн пришел к заключению, что вся Г., по существу, определяется группой тех преобразований, к-рые осуществляются движениями, имеющими место в пространстве, его группой движений. Этими движениями определяются условия конгруентности, ее инвариантами определяются расстояния, а следовательно, и вся метрика.
Г., по воззрениям Клейна, есть теория инвариантов геометрических движений.
Проективное построение неевклидовой Г. Но при этих условиях естественно возникает вопрос, не может ли другая группа быть принята за интерпретацию геометрических движений. Ближе всего лежали проективные преобразования, совокупность к-рых также образует группу. Но группа всех проективных преобразований на плоскости имеет не 3’, а 8 степеней свободы; в пространстве не 6, а 15 степеней свободы.
Инвариант здесь имеют не 2, а 4 точки, расположенные на одной прямой (этот инвариант есть их ангармоническое отношение).
Группа слишком обширна, и было естественно искать в ее составе меньшую подгруппу с 3 степенями свободы на плоскости. Указания для этого Клейн нашел в мемуарах англ. математика Кел и, которые были посвящены теории линейных преобразований квадратичных форм. В исследованиях Кели Клейн вскрыл следующие результаты: если задано какое-либо коническое"сечение, то в его плоскости существует группа таких проективных преобразований, к-рые это коническое сечение преобразовывают в себя самое, при чем его внутренняя и внешняя часть также преобразуются каждая в себя самое; эта группа имеет как раз 3 степени свободы. Инвариантное коническое сечение, по терминологии Кели, называют «абсолютом», а проективные преобразования, оставляющие его инвариантным, называют «группой Кели». Положим, что абсолютом служит эллипс. Его внутренняя часть при преобразованиях соответствующей группы Кели как бы движется в самой себе. В соответствии с этим допустим, что область, находящаяся внутри абсолюта, этим последним отделена от остальной части плоскости таким образом, что для ее обитателей проникновение за пределы абсолюта и даже на самый абсолют недоступно. С математической точки зрения эта внутренняя область представляет собою все пространство, Г. которого мы строим. Когда мы будем говорить о точках в этой Г., мы будем разуметь только точки этой области, т. е. точки, лежащиевнутри абсолюта. Группу преобразований Кели, имеющую этот эллипс своим абсолютом, примем за движения, происходящие в нашем пространстве. Это значит, что каждый образ б (напр., треугольник АВС) мы будем считать конгруентным образу б' (треугольнику A'B'JC'), если существует преобразование этой группы, преобразующее образ б в б' (в обычной терминологии — совмещающее образ б с б'). Конгруентные в этом смысле фигуры с обычной точки зрения (с точки зрения евклидовой Г.) имеют различную величину и форму; они конгруентны только в той новой Г., к-рую р р мы строим. Далее, за — прямые в новой Г. при — fL мем те отрезки о бык- ( / м\. \ новенных прямых, ко- ( Д \ ] торые лежат внутри \/ абсолюта (его хорды). ОЧ Пусть теперь М и N •--------(рис. 14) — две точки; рис. 14. прямая MN встречает абсолют в точках Р и Q, к-рые уже определяются точками М и N; ангармоническое отношение (MN} = MP'NP NQ ’ NP
определяется точками М и N; мы его поэтому и обозначаем через (MN). Но в преоб-разовании Кели, приводящем точки МиNвМ' nN', точки Р и Q переходят в Р' и Q'.
Ангармоническое отношение сохраняет свое значение, т. е.
(MN) = (M'N').
Это и есть инвариант двух точек, присущий группе Кели. При всем том число (MN) само нельзя рассматривать как интерпретацию расстояния между точками М и N. Действительно, если возьмем точку L, лежащую между М и N, то = (14).
Но расстояние должно представлять собою аддитивную величину (см.), т. е. для того, чтобы числа (MN), (ML) и (LN) можно было рассматривать как расстояния между соответствующими точками, должно иметь место соотношение (MN) = (ML) + (LN) - (15).
Между тем, выражения (13) и (14) обнаруживают, что (MN) = (ML) • (LN) (16).
Мы, очевидно, превратим этот инвариант в аддитивный, если положим [Mtf] = lg(MN) = lgg^:^) = =
(17) так как теперь, действительно, [MN]== [ML][LN] (18).
Это число [MN] и примем за расстояние между точками МиNв новой Г. В выражении (17) под знаком логарифма стоит число, большее 1; поэтому [MN] всегда представляет собою положительное число, к-рое обращается в нуль в том и только в том случае, когда точка М совпадает с N. Если же точка М остается неподвижной, а точка N
