ГЕОМЕТРИЯи отличается от формулы для сферы только тем, что sin заменяется гиперболическим
синусом от Эта роль гиперболических функций в Г. Лобачевского-Больяй привела к тому, что самую эту Г. в наст, время называют гиперболической. Число к, входящее в формулу (11), и есть та постоянная, о которой говорил Гаусс. Это — параметр, к-рым определяется метрика гиперболического пространства. Каждому значению к соответствует несколько иная Г., во всяком случае иная метрика. Если г весьма мало по сравнению с к, так что высшими степенями дроби можно пренебречь, то формула (11) дает евклидово выражение для функции О(г), и соотношения (7) принимают обычную форму (6). Иными словами, и в гиперболическом е. в пространстве, которое имело бы гиперболическую Г.), в бесконечно-малом царит Г. Евклида. Основываясь на этом, можно _______ установить выр ажение о к х рдя элемента длины.
Рис. и.
Если определять положение точки М в гиперболической Г. ординатой у (т. е. ее расстоянием МК от оси абсцисс) и абсциссой х (расстоянием ОК) (рис. И), то ds2 = dx2Q2(y) + dy2, где Q(y) та же функция, что и выше. Это равенство дает нам основную форму для гиперболической плоскости, и ее дифференциальная Г. может уже развиваться дальше по методу Гаусса. Лобачевский прошел по этому пути очень далеко.
Таковы основные черты этого замечательного построения. Несмотря на ее логическую цельность, как бы исключающую возможность логического противоречия, Лобачевский упорно искал объективного доказательства логической правильности открытой им Г. Он старался найти это доказательство в приложениях воображаемой Г. к вычислению нек-рых определенных интегралов. Хотя он дал такие применения в большом числе, исчерпывающего доказательства непротиворечивости гиперболической геометрии они не заключали.
Интерпретация Бельтрами. Гаусс скончался в 1855, в следующем 1856 скончался Лобачевский, а в 1860 умер и Больяй. Творцы неевклидовой Г. сошли в могилу, а их замечательное творение было забыто. Современников парадоксальность новых идей отпугивала даже от серьезного ознакомления с этой системой. Опубликование переписки Гаусса с Шумахером, особенно одного письма, в к-ром Гаусс восторженно отзывается о работах Лобачевского, снова обратило внимание математического мира на работы Лобачевского. К числу лиц, ознакомившихся с неевклидовой Г. и овладевших ею, принадлежал итал. геометр Бельтрами, занимавшийся, как уже было упомянуто выше, дифференциальной Г. Гаусса, т. е. исследованием поверхностей, поскольку они опре 364
деляются первой квадратичной формой. В середине 60 — х гг. интересы Бельтрами были сосредоточены преимущественно на одной из важнейших задач изобразительной Г., на картографии (см.). Бельтрами в своих картографических работах искал способов построения таких изображений поверхности на плоскости, при к-рых все геодезические линии (см.) поверхности изображаются на плоскости прямыми. Для шара, напр., это означает, что все большие круги его должны изображаться на карте прямыми линиями.
Бельтрами дал чрезвычайно изящное решение этой задачи, обнаружив, что такое изображение возможно только для поверхностей, имеющих во всех точках одну и ту же кривизну. Это привело Бельтрами к исследованию поверхностей постоянной кривизны и к изучению их Г. Поверхности, имеющие во всех своих точках нулевую кривизну, были хорошо известны еще Монжу; это — поверхности, развертывающиеся на плоскость; их Г. совпадает с Г. плоскости. Поверхности, имеющие во всех своих точках одну и ту же положительную кривизну, представляют собою либо сферы либо различные поверхности, получающиеся при изгибании и развертывании частей сферы; их Г., естественно, совпадает с Г. сферы. Интерес новизны представляли поэтому только поверхности постоянной отрицательной кривизны, имеющие до нек-рой степени седлообразный вид.
Если через любую точку такой поверхности провести два взаимно перпендикулярных нормальных сечения, то одно из них будет обращено вогнутостью в одну сторону от касательной плоскости, другое--в другую, как это имеет место на седле (рис. 12). Бельтрами назвал эти поверхности псевдосферически м и. Миндинг еще в 1840 установил по существу тригонометрические соотношения, имеющие место на таких поверхностях, но его краткие Рис. 12. указания остались незамеченными. Бельтрами занялся этим вопросом заново и установил, что Г. поверхностей постоянной отрицательной кривизны совпадает с гиперболической Г. Во всяком случае, каждому участку псевдосферы соответствует участок гиперболической плоскости, имеющий ту же Г. Впечатление, произведенное этим открытием, было громадно. В евклидовой Г. оказались реальные образы, на к-рых выполняется плоская Г. Лобачевского. Абстрактным логическим процессом была создана геометрическая система, реальное осуществление которой пришло уже a posteriori, последовало за ее созданием, а не предшествовало ей. Этот факт вызвал напряженный интерес к неевклидовой Г. В большом числе появились сочинения, элементарно излагающие Г. Лобачевского и углубляющие ее содержание. Авторитет Гельмгольца создал интерес к ней и среди естествоиспытателей. Недавно еще почти никому неизвестная, осмеянная теми, кто коечто о ней слышал, неевклидова Г. в начале 70 — х гг. оказывается в центре внимания геометров. При всем том люди точного мышле-
