построении окружность приближается не к прямой ОМ, а к некоторой своеобразной кривой ON, которую Лобачевский называет орициклом, или предельной линией. Это бесконечно простирающаяся в обе стороны разомкнутая кривая, основное свойство которой заключается в том, *что она, подобно прямой и окружности, может скользить по самой себе без деформации. Точно так же в новой Г. и сфера с N увеличением радиуса Рис. ю. стремится не к плоскости, а к особого рода «предельной поверхности». Эта замечательная поверхность, будучи разомкнута и бесконечна во всех направлениях, все-таки сохраняет то свойство сферы, что она может быть рассматриваема как поверхность вращения вокруг любой своей нормали; при этом ее меридианами служат предельные линии, а параллелями, конечно, окружности. Предельная поверхность может передвигаться по самой себе совершенно также, как плоскость или сфера: любая точка ее может быть совмещена с любой другой точкой, и вокруг каждой точки может происходить свободное вращение. Геодезическими линиями предельной поверхности служат предельные линии, и через каждые две точки на предельной поверхности проходит одна и только одна предельная линия. Сумма углов геодезического треугольника на предельной поверхности всегда равна 2d. Результатом этого является то обстоятельство, что на предельной поверхности имеет место евклидова геометрия, т. е. каждое предложение евклидовой планиметрии будет справедливо, если в нем под прямой разуметь предельную линию. Это возрождение евклидовой планиметрии в недрах неевклидовой Г., к к-рому с различных точек зрения пришли все творцы неевклидовой Г., составляет наиболее важный момент в ее развитии. Так как на предельной поверхности остается в силе евклидова планиметрия, то на ней сохраняется и евклидова тригонометрия. Это значит, что здесь так же, как в евклидовой планиметрии, определяются основные гониометрические функции, значения этих функций выражаются теми же рядами, а стороны и углы геодезического треугольника связаны уравнениями плоской тригонометрии.
В евклидовой Г. имеется возможность, пользуясь плоской тригонометрией, установить соотношения, связывающие стороны и углы сферического треугольника; плоская тригонометрия служит точкой отправления, из нее выводится сферическая тригонометрия. Совершенно аналогично в неевклидовой Г. точкой отправления служит тригонометрия предельной поверхности, исходя из к-рой строится плоская и сферическая тригонометрия неевклидова пространства. Это есть третий и очень важный этап в построении неевклидовой Г. Так наз. теорема синусов плоской планиметрии выражается соотношением
362 .. fl- = . ь sin A
. с_
sin В
sin С
(6).
х 7
Если числители этих дробей умножить на 2л, то они выразят длины окружностей радиусов а, Ъ, с. Если поэтому через О(г) будем обозначать длину окружности радиуса г, то соотношение (6) можно написать в виде: 0(a) = 0(b) 0(c) sin A
sin В
sin С
В сферической тригонометрии евклидова пространства теорема синусов имеет вид: . а sin — 5
. ъ . с — Л _ sm-в Л _ sm Л
sin А ~~ sin В ~~ sin С
ZQ\ 7’
если через а, Ь и с обозначим длины сторон сферического треугольника, а через R радиус сферы. Умножая обе части равенств на 2лR и принимая во внимание, что на сфере длина окружности, геодезический радиус к-рой на сфере есть г, выражается числом 2лR sin мы видим, что соотношение (8) принимает вид (7); только на сфере самая функция 0(f) выражается не так, как на плоскости. Пользуясь тем, что на предельной поверхности, как и на сфере, геодезическая окружность в то же время представляет собою и плоскую окружность, Больяй обнаружил, что соотношение (7) остается в силе и в неевклидовом пространстве как на сфере, так и на плоскости. Двумя уравнениями (7) тригонометрия не исчерпывается; к ним необходимо еще присоединить соотношение, заменяющее Пифагорову теорему евклидовой геометрии. В сферической тригонометрии она, как известно, заменяется соотношением cos
с
= cos
а
Ь /л\ cos(У),
если а, Ъ и с суть длины катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника. Так как на сфере О(г)=2лВ sinто производная этой
функции О'(г) = 2л cos
Если поэтому че рез Q(f) обозначим О'(г), то соотношение (9) можно написать в виде: Q(c)~Q(a) Q(b) (10).
Замечательно, что и это соотношение в точности сохраняется в неевклидовой геометрии; только другое выражение функции 0(f) приводит, конечно, к другой производной, к другой функции Q(f). Весь вопрос, т. о., сводится к тому, чтобы установить,^какова же эта функция 0(f) в неевклидовой Г.
Лобачевский вместо функции О(г) вводит несколько иную функцию. Разыскание этих функций составляло для творцов неевклидовой Г. наибольшие трудности. Оказывается, что в неевклидовой Г. на сфере О(г) имеет совершенно такой же вид, как^и в евклидовой Г.; поэтому в неевклидовой Г. сферическая тригонометрия вполне совпадает с той, к-рая имеет место в евклидовой Г.
Иначе обстоит дело с плоской тригонометрией. В неевклидовой плоскости функция 0(f) имеет вид: г
0(f) = 2л/се
_т
= 2л/с sin h (j)
(11)
