ности выражается через параметры (координаты, с этой поверхностью связанные) дифференциальной квадратичной формой, т. е. однородным выражением 2-й степени относительно дифференциалов параметров.
Эту форму называют основной формой поверхности; для каждой поверхности ее коэффициенты имеют свои специфические значения. С помощью этих же коэффициентов выражается и угол между двумя направлениями на поверхности. Именно, если ММ' и ММ" суть два линейных элемента с указанными на рис. 7 координатами конечных точек, а 0 есть угол между направлениями этих элементов, то dsds cos 0 = g^du^^ + д12 + du2duy) + + g22du2du2 (3).
Есйи теперь по той же основной форме вычислить квадрат длины Ds2 элемента М'М", имея в виду, что разности координат его конечных точек суть dux — и du2 — du2i то окажется, что JDs2 отличается от суммы ds2+ds2 на двойную величину второй части равенства (3), так что Ds2 = ds2 + ds2—2dsds cos 0 (4).
Это есть, очевидно, выражение того факта, что в бесконечно-малом криволинейном треугольнике на любой поверхности сохраняются соотношения обыкновенной плоской тригонометрии. Таковы те упрощенные соотношения, которые имеют место в бесконечно-малой области и которые дают все же возможность установить метрику поверхности в целом.
Основной формой поверхности определяются длины и углы на ней, а следовательно, и вся метрика поверхности. Координаты u19 и2 на поверхности можно выбирать произвольно; при переходе от одних координат к другим меняются коэффициенты основной формы, но метрика поверхности от этого, конечно, не зависит; она остается при преобразовании координат инвариантной; можно сказать поэтому, что изучение метрики поверхности есть изучение инвариантов ее основной квадратичной формы.
Гаусс показал, что к числу этих инвариантов принадлежит и установленная им кривизна (см.) поверхности в каждой ее точке.
Однако, если поверхность допускает изгибание без растяжений и складок, то длины нанесенных на ней кривых, а вследствие этого и вся ее метрика, не меняются; не меняется, следовательно, по существу и основная квадратичная форма, к-рая в своих инвариантах дает все то, что остается неизменным при изгибании поверхности; весьма замечательно, что при этом остается неизменной и кривизна поверхности в каждой ее точке. Для Гаусса поверхность представляет собою как бы бесконечно тонкую гибкую пленку; при помощи исследования основной квадратичной формы эта пленка изучается во всех геометрических формах, к-рые она при изгибании может принимать.Однако, попутно Гаусс вводит еще одну квадратичную дифференциальную форму, к-рая в современ. обозначениях имеет вид: Pndit? + 2p12du1du2 + p22dul (5).
Коэффициенты первой основной формы выражаются через первые производные функций f19 f2 и f3, входящих в конечные уравнения (1) нашей поверхности, а коэффициенты второй формы через вторые производные тех же функций. Эта вторая форма у Гаусса играет чисто вспомогательную роль. Но последователи Гаусса, гл. обр. итал. геометры Майнарди и Кодацци, показали, как велико ее значение. Они обнаружили, что вторая форма вместе с первой определяют не только метрику, но и форму поверхности. Получается следующая система. Если даны конечные уравнения поверхности (1), то известны как метрика и форма поверхности, так и положение ее в пространстве; основанная на них Г. есть дифференциальная Г. Монжа; это — приложения исчисления бесконечно-малых к трем функциям /х, /2, /3, входящим в конечные уравнения поверхности. Но, если нас интересует не то или иное положение поверхности, которое может многообразно меняться при движении поверхности в пространстве, а только ее форма и размеры, то конечные уравнения не нужны: они содержат лишние элементы, к-рые только осложняют исследование; для этой цели достаточно располагать двумя основными дифференциальными формами поверхности; на их изучении основана дифференциальная Г. Майнарди, Кодацци, Бельтрами. Если же нас и самая форма поверхности не интересует, а интерес сосредоточен только на ее метрике, т. е. если мы допускаем всякую деформацию, не меняющую метрики поверхности (изгибание), то эти ее свойства содержатся в одной лишь первой основной форме.
Ее исследование составляет дифференциальную Г. Гаусса. Эта Г. содержит учение о геодезических линиях поверхности, о ее изгибаниях, о кривизне поверхности в каждой ее точке, о линиях кривизны, об определении поверхности в каждой ее точке, в частности, о поверхностях, имеющих во всех точках одну и ту же кривизну. В Г. Майнарди-Кодацци сюда присоединяется учение об асимптотических линиях; которые собственно и характеризуют форму поверхности (даже, когда они мнимые). Комплекс идей и фактов, в этом порядке устанавливаемых, чрезвычайно обширен. Он получил углубленное развитие и систематически изложен в трактатах Дарбу и Бианки (D а гboux G., Lepons sur la th^orie g6n6rale des surfaces, Paris, 1896; Bianchi L., Lezioni di Geometria Differenziale, 2-е издание, Пиза, 1902—09).
Гаусс имел немного прямых учеников.
Самым ярким из них, до некоторой степени напоминавшим своего великого учителя по многообразию творчества, был Бернгард Риман, скончавшийся от туберкулеза в 40 — летнем возрасте в 1866. Известный герм. математик Дедекинд извлек из наследия Римана рукопись, носившую название «О гипотезах, лежащих в основании Г.» («Ueber die Нуроthesen, die der Geometrie zu Grunde liegen»,
