окружностей, в нее входящих, мы определим путем решения линейных и квадратных уравнений координаты отдельных построенных точек, к-рые должны служить пересечениями этих прямых и окружностей. Очень существенно при этом то обстоятельство, что совместное решение уравнений двух окружностей всегда приводится к решению одного линейного и одного квадратного уравнений.
Эти соображения, при надлежащем их уточнении, приводят к тому выводу, что циркулем и линейкой могут быть построены только такие отрезки, к-рые выражаются в заданных величинах рядом последовательно извлекаемых квадратных корней, связанных между собою рациональными операциями.
Между тем, сторона куба, вдвое превышающего по объему куб со стороною 1, выражается числом 1^2. Вопрос о возможности решения задачи об удвоении куба сводится, т. о., к тому, можно ли ^2 выразить рациональной комбинацией последовательно извлекаемых квадратных корней с рациональными основаниями. Невидимому, Ванцель (Wanzel) впервые обнаружил, что такое сведение кубической иррациональности к квадратным корням невозможно, и тем доказал невозможность решения циркулем и линейкой задач о трисекции угла и об удвоении куба. Так. обр., здесь алгебраизация задачи имела решающее значение. По отношению к квадратуре круга дело обстояло гораздо сложнее. Здесь задача требует построения отрезка, длина которого выражается числом л, и вопрос сводится к тому, можно ли число тс выразить в квадратных радикалах, т. е. может ли оно служить корнем такого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, к-рое решается в квадратных радикалах. Решение этого вопроса привело к понятию о трансцендентном числе (см.), т. е. таком числе, к-рое не может служить корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. В 1873 Эрмит доказал трансцендентность числа е, а в 1882 Линдеман, опираясь на теорему Эрмита и на Эйлерово соотношение eni= — 1, доказал трансцендентность числа 7t. Этим была установлена невозможность осуществления квадратуры круга при помощи каких бы то ни было алгебраических кривых, и многовековая задача была доведена до конца. Вместе с тем, были установлены общие методы, дающие всегда возможность определить, решается ли данная задача циркулем и линейкой. Более того, стало возможным поставить вопрос о простейшем решении каждой конструктивной задачи. Относящиеся сюда многообразные вопросы в наст, время выделены в особую дисциплину, получившую название геометрографии (см.). Наиболее обстоятельное сочинение по этому поводу принадлежит Валену (Th. Vahlen, Konstruktionen und Approximationen, 1919). Задача получает более общую постановку: речь идет о построениях заданными средствами, наир., одним только циркулем (Маскерони), линейкой и одним раствором циркуля (Штейнер). Геометрография ищет путей для решения вопроса о возможности выполнить требуемое б.
с. э. т. XV.построение заданными средствами. Нужно заметить, что проективную геометрию можно рассматривать как совокупность построений, которые могут быть выполняемы одной только линейкой.
Дифференциальная Г. Как ни любопытны все эти результаты, значение их совершенно стушевывается перед тем развитием, к-рое в 19 веке получил в применении к Г. метод анализа бесконечно-малых. В трактате Монжа связь между Г. и исчислением бесконечно-малых носила характер приложения анализа — гл. обр. разложения Тейлора — к Г, В небольшом сочинении, носившем название «Общие исследования кривых поверхностей» («Disquisitiones generales circa superficias curvas», 1827), Гаусс дал новые методы, развитие которых привело к созданию обширной и самостоятельной дисциплины — дифференциальной геометрии (см.).
Эти исследования Гаусса относятся к периоду расцвета теоретической физики в ее классической форме (Пуасон, Фурье, сам Гаусс). Руководящая идея этих исследований заключалась в том, что в отношении каждого явления в бесконечно-малой области царят упрощенные законы, к-рые гораздо легче вскрыть и к-рыми в то же время по существу определяется явление в целом (подробнее об этом см. ст. Бесконечно-большие и бесконечно-малые, т. V, ст, 739). С этой точки зрения Гаусс подошел к изучению кривых поверхностей. Его замысел заключался в следующем. Положим, что на кривой поверхности точка определяется двумя координатами и и2, связанными нек-рым образом с самою поверхностью (напр., на сфере координаты иг и и2 могли бы означать долготу и широту точки). Если поверхность занимает определенное положение в пространстве и мы отнесем последнее к ортогональным декартовым координатам (хи х2, ®3), то каждой точке М на поверхности, т. е. каждой паре значений координат ulf и21 отвечают определенные значения координат ®i, х21 х3 той же точки в пространстве; иными словами, х19 х2, х3 суть функции от иг и и2: «1 = /1 (W1>W2), х2 = ft Х3 - (Ui, U2) (1).
Это т. н. конечные уравнения поверхности в параметрической форме (^ и и2 — параметры). Ими определяется и форма поверхности и положение ее в пространстве. Если рассмотрим на поверхности точку М', бесконечно близкую к М и определяемую значениями параметров щ+du^ u2+du2, то декартовы координаты точки М' в пространстве будут иметь значения x1+dx1, x2+dx2f x3+dx3, где
dx{ ~Wldui + &r, du*“ ^>1
+
4~ ti, 2 du2, (г — 1, 2, 3).
Если примем во внимание, что и//) 2 суть функции от параметров иг и и2’и на основании этого вычислим длину элемента дуги ММ' на поверхности по формуле ds* = dxl 44~ dx2 4 — dxf, то получим: ds2 == ffi]du% 4~ 2ffi2dUidu2 4“ (2), где gllt g12, g22 суть нек-рые функции от иг и и2. На языке анализа это означает, что квадрат элемента дуги на любой поверх12
