ложения алгебры во всех дисциплинах, где она применяется для разыскания неизвестных величин: задания выражаются определенной системой уравнений, решение к-рых дает значения неизвестных. Это объединение алгебры с Г. вскоре привело к гораздо более углубленному и своеобразному применению алгебраического метода в геометрическом исследовании. Промежуточное значение (во всяком случае, хронологически) имеют идеи Орезма (14 век). Схоластики были очень склонны к установлению соотношений между различными величинами, соотношений, иногда действительно существующих, но чаще иллюзорных. В этом коренилась, конечно, идея функциональной зависимости, которой Орезм первый пытался дать графическое выражение — в виде того, что мы в настоящее время называем диаграммой. Вероятно, туманные рассуждения, с которыми этот метод, столь простой по существу, был связан у схоластиков, повели к тому, что метод Орезма в ту пору значительного распространения не получил и прямого влияния на дальнейшую эволюцию Г. не оказал. В эпоху Возрождения зародилась и так наз. изобразительная геометрия, но к этому мы возвратимся ниже.
Аналитическая Г. Основным препятствием для дальнейшего развития Г. было отсутствие общих методов геометрического исследования, к-рые содержали бы указания, как подойти к каждой частной геометрической задаче. Нужда в таком общем методе чрезвычайно назрела. С развитием алгебры, принесшей с собой средства математического исследования очень широкой общности, было естественно в них искать и путей к геометрическому исследованию. Действительно, в 17 веке два гениальных французских математика, Ферма и Декарт, почти одновременно выдвигают идеи, приведшие к новому и очень широкому расцвету геометрической мысли. Эти идеи были изложены Ферма в сочинении «Введение в учение о геометрических местах на плоскости и в пространстве» («Ad locos pianos et solidos isagoge»), к-рое было известно в кругу парижских математиков еще в 1637, но опубликовано было только после смерти автора (1679). В письме к Робервалю Ферма изложил сущность своих идей еще почти на 10 лет раньше. Взгляды Декарта изложены в небольшом его сочинении «Геометрия», появившемся в 1637 в качестве приложения к сочинению «Рассуждение о методе» («Discours sur la mSthode»). Оба геометра явно находились под большим влиянием Аполлония; но установленный ими метод, ныне широко известный под названием аналитической геометрии (см.), все-таки остается вполне своеобразным. От приемов Аполлония он отличается тем, что соотношения, определяющие геометрическое место, выражены в форме уравнений символической алгебры; от методов применения алгебры к Г., предложенных Виетом, он отличается тем, что здесь преобладающее значение приобретают неопределенное уравнение и неопределенная система уравнений; коренной его особенностью является метод кЬординат, в применении к-рого заключается наиболь 340
шая его сила. Координатами, по существу, пользовался и Аполлоний. Но у него ордината точки параболы есть ее расстояние от оси этой параболы; координация всегда неразрывно связана с самой кривой. Декарту (более чем Ферма) принадлежит ясно выраженный замысел координации точек плоскости относительно произвольно выбранных осей, а это и есть самая существенная сторона дела. В совокупности получился метод, дающий возможность выразить те соотношения, которыми определяется геометрическое место, при помощи уравнений, связывающих координаты его точек. Геометрические соотношения были уложены в общие схемы аналитической функциональной зависимости, и были даны общие методы изучения этой зависимости средствами алгебры и анализа. Был найден ключ к широкой новой постановке геометрического исследования. Ферма дал систематическую сводку уравнений важнейших кривых. У Декарта этого нет, но зато у него шире и глубже очерчены общие идеи метода: самое сочинение должно было служить примером того, какое значение имеет метод. Конечно, на то, чтобы провести этот метод систематически, понадобилось значительное время. У Декарта речь идет только о координации точек на плоскости; естественное обобщение — определение точки в пространстве тремя координатами — было сделано Ла-Гиром, много содействовавшим развитию метода Декарта («Nouveaux 616ments des sections coniques», P., 1679). Первое же систематическое изложение аналитической Г. как целого дал Эйлер во 2-м томе своего «Введения в анализ бесконечных» («Intro duct io in analysin infinitorum»).
Аналитическая Г. прежде всего дала критерий, характеризующий те пределы, к-рыми была ограничена греч. Г. По существу, это было изучение линий и поверхностей 1 — го и 2 — го порядка. Это как будто предуказывало и ход дальнейшего развития Г., которое должно было прежде всего поставить целью изучение кривых более высокого порядка.
Этим, действительно, занимались многие геометры, начиная с Ньютона. Наиболее плодотворными, однако, оказались эти методы при объединении их с самым мощным орудием новой математики — методом бесконечно-малых (см. Бесконечно-большие и бесконечно-малые).
Исчисление бесконечно-малых и его приложения к геометрии.
Самое открытие этого метода было чрезвычайно тесно связано с задачами Г. Составляемые по данной функции дифференциальным путем ее производные различных порядков служат для исследования хода функции: ее возрастания и убывания, быстроты ее изменения, достижения ею наибольших и наименьших значений, вообще всего ее «поведения». Для заданной плоской кривой ордината есть функция абсциссы, и ход изменения этой функции представляет собой аналитическое выражение хода кривой. Поэтому общие средства изучения изменения функций служат для изучения кривой, ее подъема, падения, большего и меньшего искривления, направления ее выпуклости,
