лера-Лагранжа дают только необходимые, но иногда недостаточные условия для обращения в максимум или минимум соответствующего интеграла, в данном случае выражающего длину дуги кривой. Поэтому кривые, определяемые этой системой дифференциальных уравнений, могут не удовлетворять основному требованию, содержащемуся в определении Г. л. Однако, под Г. л. поверхности в наст, время разумеют всякую кривую, удовлетворяющую этой системе дифференциальных уравнений. Так, на круглом цилиндре между двумя точками, как бы близки они ни были, проходит бесчисленное множество винтовых линий, к-рые все относятся к Г. л. цилиндрической поверхности; но из них только одна представляет собою кратчайшее расстояние между этими точками. Все другие имеют геодезическую кривизну (см.), равную нулю; поэтому они представляют собою т. н. прямейшие линии поверхности. Очень важное свойство Г. л. поверхности заключается в том, что главная нормаль Г. л. в каждой точке направлена по нормали к поверхности; этим свойством Г. л. поверхности вполне определяются.
Механическое значение Г. л. заключается в том, что материальная точка, поставленная кинематически в такие условия, что она вынуждена двигаться по заданной поверхности, описывает Г. л., если на нее не действуют никакие внешние силы (т. е. никакие силы, кроме реакций связей, удерживающих точку на поверхности). Если исключить (т. е. не считать) реакции связи, то можно сказать, что материальная точка описывает Г. л., если она на поверхности движется по инерции. С эволюцией идей о пространстве в римановой геометрии (см.) под Г. л. стали понимать кривые, которые в соответствующем пространстве определяются системой дифференциальных уравнений такой же структуры; эти линии могут быть либо кратчайшими либо прямейшими, в указанном выше смысле. Учением о Г. л. много занимались Гаусс, Лагранж, Лиувиль, Иоахимсталь. По замыслу Эйнштейна свойства пространства с действующими в нем силами тяготения могут быть охвачены геометрической схемой четырехмерного пространства риманова типа. Поскольку, т. о., эта геометрия уже охватывает не только геометрические свойства пространства, но и силы тяготения, материальная точка, находящаяся только под действием гравитационных сил, в этой схеме движется по инерции; она, поэтому, должна описывать Г. л. На этом принципе по существу покоится механика Эйнштейна. — О Г. л. наземном сфероиде см. Геодезия.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ, широта и долгота точки земной поверхности, определенные не из астрономических наблюдений в данном месте, а путем геодезического измерения расстояния и направления (азимута) от некоторой другой исходной точки, для которой географические координаты известны. Г. к. отличаются от астрономически определенных широт и долгот на малые величины, зависящие от неточности принятых при вычислении элементов земного сфероида и от отклонений отвеса.В настоящее время в геометрии координаты называются геодезическими в данной точке, если в этой точке христофелевы символы (см.) обращаются в нуль.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК, тре угольник на любой поверхности, образованный тремя пересекающимися геодезическими линиями. Очень важное значение имеют в астрономии Г. т. земного сфероида, но треугольники, измеряемые в геодезии на поверхности земли, не являются Г. т. и приводятся к последним введением небольших поправок в длины сторон и величины углов.
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ, величина, в известной мере характеризующая кривую, лежащую на поверхности, и определяемая по аналогии с обычным кручением (см.) кривой также, как геодезическая кривизна (см.) определяется по аналогии с обычной кривизной. Г. к. равно: _1
Т~ q
d<p ds ’
где q — радиус второй кривизны или кручения кривой, у — угол между направлением нормали к поверхности и направлением главной нормали кривой, a ds — элемент длины дуги. Г. к. обращается в нуль на линиях кривизны.
ГЕОДЕЗИЯ (от греч. ge — земля и daiein — разделять), наука, изучающая форму и размеры земли. Обычно подразделяется на высшую Г., имеющую конечной целью определение общей формы земли, и низшую Г., или топографию (см.), изучающую форму отдельных частей земной поверхности столь небольшого протяжения, что можно пренебречь сферичностью земли и считать эти участки плоскими. Основную задачу современной Г. составляет установление точной формы земного геоида (см.). В тесной связи с этим Г. имеет очень большое значение при прикладных измерениях на земной поверхности, составлении карт и планов. Начало высшей Г. должно быть отнесено к 6 в. до хр. э., когда греческий философ Пифагор высказал впервые предположение о шарообразной форме земли. Несколько позже (в 4 в.) Аристотель привел доказательства этого, употребляемые и в наст, время (постепенное исчезновение удаляющихся предметов за выпуклостью земли, кругообразная тень земли во время лунных затмений, изменение высот звезд над горизонтом при передвижении наблюдателя по земной поверхности); он же впервые дал указания о размерах земного шара: он определяет длину окружности земли в 400 тысяч греческ. стадий (примерно 60 тысяч км), не указывая, как получена эта цифра. Сто лет спустя, в середине 3 века до хр. э., Эратосфен произвел первое дошедшее до нас градусное измерение, определив длину окружности земли в 250 тыс. стадий, что довольно близко подходит к истинным размерам ее. В дальнейшем размеры земли определялись неоднократно со все повышающейся точностью. Особое значение имело измерение дуги меридиана между Дюнкирхеном и Барселоной, произведенное в 1792—99 Мешеном и Деламбром.
Подробнее см. Градусные измерения.
В 18 веке было окончательно установлено сжатие земли в направлении полюсов и близость общей фигуры земли к так наз. сфе-
