необычайно упрощающие технику расчетов.
В последнее время начали широко распространяться и графические методы производства В. (см. Номография). Номографические методы и логарифмические линейки значительно сузили область применения логарифмических таблиц.
Практические вопросы, требующие значительных В., распадаются, гл. обр., на следующие типы: 1) В. значений сложных функций, 2) решение сложных уравнений и систем уравнений, 3) вычисление определенных интегралов и 4) приближенное интегрирование дифференциальных уравнений. Для каждого типа этих В. существуют специальные методы, не поддающиеся объединению. В деле вычисления значения функций особую роль играют методы интерполяции (см.), т. е. определения значений некоторой функции / (х), определенной для ряда точек хп х2, х3...., Хц, в промежуточных точках. Для целого ряда функций, имеющих важное теоретическое или практическое значение (например, для тригонометрических Xфункций или функции Ф (х) = f е~и du, играющей о основную роль в вопросах, связанных с теорией вероятностей, для Бесселевых, сферических и других функций), составлены таблицы, в к-рых даны значения функции через определенные промежутки значений аргумента (напр., в таблицах тригонометрических функций часто даются значения их через Г).
Методы интерполяции дают возможность быстро и с наибольшей возможной точностью определять значения функции для промежуточных значений независимой переменной, не вошедших в таблицу. Особые счетные приемы и вычислительные машины имеются для приближенного решения алгебраических уравнений (см.), а также для определения площадей, ограниченных сложными кривыми, по нек-рому числу заданных их ординат (см. Квадратуры). В деле приближенного интегрирования дифференциальных уравнений (см.) достижения не так велики; но все же и здесь имеются методы, часто дающие очень полезные результаты. Наконец, нужно отметить чрезвычайно важные практически методы уравнительных вычислений (см.), дающих возможность обработать наивыгоднейшим образом результаты непосредственных наблюдений. Общая теория их (т. н. способ наименьших квадратов) разработана Лежандром и Гауссом в начале 19 в.
Лит.: Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, Петербург, 1911; Безикович Я. и Фридман А., Приближенные вычисления, Л., 1925; Гаврилов А. Ф., Практика вычислений, М. — Л., 1926; Runge К. und КбnigН., Vorlesungen iiber numerisch. es Rechnen, В., 1924; Whit taker E., The Calculus of Observations, Glasgow, 1924; Werkmeister P., Praktisches Zahlenrechnen, B., 1921; Drflll K., Kaufmannisches Rechnen zum Selbstunterricht, Frankfurt a/M., 1921; Sanden H., Praktische Analysis, Lpz., 1923; Mannchen Ph., Geheimnisse der Rechnenkiinstler, Lpz., 1924; его же, Die Wechselwirkung zwischen Zahlenrechnen u. Zahlentheorie bei C. F. Gauss, «Materialien f. eine wissenschaftliche Biographie v. Gauss», Heft 6, Lpz., 1918; по уравнительным В.: Brunt D., The Combination of Observations, L., 1917; Идельсон H., Уравнительные вычисления по способу наименьших квадратов, м. — л., 1927. н. Идельсон.
ВЫЧИСЛИТЕЛИ, сотрудники, обрабаты вающие числовой материал. В. работают преимущественно в статистических и астрономических учреждениях, но в наст, время имеется большое число и технических учреждений, пользующихся работой В. Обыкновенно В. получают образование на физико-математических факультетах. Все усиливающаяся потребность в В. побудила некоторые западные университеты создать особые уклоны для подготовки специалистов В.
Особенную энергию в этом направлении проявили Ф. Клейн в Германии и Э. Уитекер (Е. Whittaker) в Англии.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕМАШИНЫ, механизмы для производства вычислений, представляющие собой наиболее распространенный тип математических инструментов. В отличие от всех иных приборов, исполняющихразличные математические операции с ббльшим или меньшим приближением (см. Логарифмическая линейка, Планиметр, Интегратор), В. м. имеют назначением совершенно точное выполнение четырех основных действий над целыми числами в пределах, соответствующих числу знаков, к-рым обладает данная машина. В. м. отвечают, поэтому, самым широким запросам технической и научно-технической практики. Идея этих приборов известна уже с древности: греко-римский абак (см.) имел важное значение не только в обычной вычислительной работе древних; самая схема действий на этом счетном приборе наложила известный отпечаток на дальнейшее развитие научной мысли и повлекла за собой в средние века довольно долгую борьбу между абацистами и сторонниками новой, десятичной системы счисления, допускавшей удобное производство письменных вычислений в настоящем смысле этого слова (см. Арифметика). Как вспомогательное счетное приспособление абак сохранился в наст, время только в форме русских счетов и японско-китайского сванпана. В Зап. Европе счеты совершенно вышли из употребления еще к 17 в., и все попытки снова ввести их в жизненный обиход, хотя бы и в целях педагогических, оказались неудачными (в частности, попытка математика Понселе, бывшего в плену в России в 1812—1814).
Японский сванпан отличается от наших обычных счетов тем, что на каждой проволоке только первые пять кружков имеют значение единиц данного разряда; за ними имеется еще один или реясе два кружка, имеющие значение пяти единиц того же разряда; «единицы» отделены от «пятерок» проволокой по всей длине доски; к этой проволоке и откладываются «единицы» от левого борта, «пятерки» от правого. Обозначая единицу знаком I, пятерку знаком V, выставляем, напр., число 785 следующим образом: I, I, V; I, I, I, V; V. В действиях с сванпаном японцы достигают большого искусства, пользуясь им не только для сложения и вычитания, но даже (при помощи целой системы заучиваемых правил) для умножения, деления, возведения в Jndex 0 4 3 4 2 9 4 ^6 квадрат и извле2 чения квадратного 3 корня. Характер4 ной чертой всех 5 этих приспособле6 ний служит то, что ^8 использование всех 7 10 единиц данного 8 разряда указывает 9 вычислителю на необходимость ОТЛО — Рис. 1. Палочки Нэпера. жить одну единицу следующего разряда, т. е. произвести т. н. передачу десятков; полная автоматизация именно этой операции и является одним из основных условий работы всякой вычислительной машины.
Весьма интересное и простое приспособление, имевшее целью облегчение действия умножения, было изобретено Нэпером (1550—1617); в принципе оно сводится к тому, что
Xх X X XXXX к XX XX XXX XX X
хXхX X X\4X XхкXXX Xх XX XЕX цXккX 7\х
