Фурье предполагал, что ряд (1) всегда сходится, но он не производил исследования тех условий, при к-рых это предположение справедливо. Такое исследование произвел позже (в 1829) Лежен-Дирикле, к-рый и установил точные условия сходимости ряда (1) и, стало быть, условия применимости теоремы Фурье («условия Дирикле»). Дальнейшие исследования тригонометрических рядов привели Риманна к обобщению понятия об интеграле и послужили толчком к созданию Г. Кантором теории бесконечных множеств.
Вейерштрасс при помощи тригонометрических рядов впервые построил непрерывную функцию, не имеющую производной. — В последние годы ряды Фурье получили новое обобщение для представления т. н. «почтипериодических функций». Этот класс функций не имеет точной периодичности, но значения такой функции воспроизводятся с любой степенью точности, если брать достаточно большие «почти-периоды». Гаральд Бор показал, что почти-периодическая функция может быть представлена «обобщенным рядом Фурье»: ап cos (Хпх + а„),где Лп вообще уже не будут целыми числами.
Лит.: Леже н-ДириклеП. Г., Риманн Б., Липшиц Р., Разложение функций в тригонометрические ряды, Харьков, 1914;Тамар кин Я. и Смирнов В., Курс высшей математики для техников и физиков, т. и, л., 1926. J3. Степанов.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗАТОР, прибор
для вычисления коэффициентов 2л
2л
f(x) cos пх dx : bn = * J f(x) sin nx dx, о
о входящих в разложение Фурье (см. Гармонический анализ). Существуют различные типы такого рода приборов. Г. а. Майкельсона позволяет вычислить до 80 последовательных коэффициентов ап и Ъп, Г. а. Коради — 18 коэффициентов, Г. а. Мадера — 25 коэффициентов. Наиболее совершенные типы Г. а. позволяют решить и обратную задачу: они по заданным коэффициентам Фурье вычерчивают график той функции, к к-рой эти коэффициенты относятся. Существуют, впрочем, и самостоятельные приборы для этой цели, например, классический прибор лорда Кельвина для предсказания приливов. Своеобразный Г. а. изобретен в СССР проф.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ПУЧОК (прямых, плоскостей и т. д.), см. Гармоническое расположение.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД, играющий важную роль в математическом анализе ряд, состоящий из обратных величин натуральных чисел: l+^+VsH-••• +1/п+... Г. р. представляет собою простейший пример ряда, к-рый расходится (не имеет конечной суммы), в то время как члены его непрестанно уменьшаются, стремясь к нулю. Сумма п первых членов Г. р. приближенно выражается формулой lgn+С, где логарифм взят натуральный, а С=0, 57721... есть так наз. постоянная Эйлера.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ТЕЛЕГРАФ (Э. ГРЕЯ),
основан на применении вибраторных электромеханизмов (см. Вибратор) в виде камер 604
тонов, настроенных на определенную гамму звуков. Вибрирующие камертоны включаются в ряд параллельных цепей электрического тока, соединяемых с общим телеграфным проводником. Вибрации камертонов создают пульсирующие токи различной частоты, к-рые распространяются по телеграфному проводнику до другой станции и приводят в вибрации корреспондирующие им по частоте такие же вибраторн. приемники.
Действием включенных последовательно с вибрирующими камертонами на передающей станции телеграфных передатчиков пульсирующие трки замыкаются и размыкаются на определенные промежутки времени. Эти замыкания и размыкания вызывают звучание или, соответственно, затихание камертоновприемников. Последние могут быть приспособлены для записи получаемых сигналов, выражающих текст телеграммы. — Г. т. изобретен в 80 — х гг. 19 в. Опыты его применения были сделаны в Америке; в наст, время не применяется. Является прототипом многократного тонального телеграфирования.
ГАРМОНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕМИЕ, прямолинейное колебательное движение, к-рое совершает материальная точка под действием центральной силы притяжения, прямо пропорциональной расстоянию между данной точкой и центром притяжения. Если прямую, к-рая соединяет центр притяжения с движущейся точкой, принять за ось X, а центр притяжения за начало координат, то уравнение гармонического движения имеет вид х = A sin (nt + <р).
Здесь А есть т. н. амплитуда, постоянная, характеризующая наибольшее уда ление точки от наложения равновесия; (р — другая постоянная, т. н. фаза, t — время. — Геометрически Г. д. можно представить себе так: если некоторая точка Р движется равномерно по окружности, то проекция ее на вертикальную ось (точка р) совершает Г. д. Радиус окружности А есть амплитуда Г. д.; величина п определяется тем, что ~ есть время полного оборота точки Р или время полного колебания точки р (период колебания), а у есть мера дуги КР0, если при t = 0 точка Р занимает положение Ро.
Дифференциальное уравнение Г. д. имеет вид d2x, 2 d*x,,, т — л; at=3 _ №х илиdV — 3 7 + h2x = 0.
Общее решение этого уравнения есть: х = а sin nt + b cos nt (a, b — постоянные).
Полагая здесь а = A cos <р ; b = A sin ф, получим уравнение (1).
Г. д. представляет собой простейший вид колебательного движения. По закону Г. д', совершаются колебания под действием упругих сил, а также (в первом приближении) колебания маятника. Особое значение имеет изучение Г. д. в связи с возможностью изобразить всякое сложное периодическое движение как сумму ряда Г. д. При сложении
