III. Приложения теории вероятностей.
Теорема Бернулли. Приложения теории ве роятностей основываются, преимущественно, на Бернуллиевой теореме (см.). Эта последняя, в свою очередь, основывается на исчислении В. появления события при повторных испытаниях. Положим, что при нек-ром испытании определенное событие, появление которого мы считаем «успехом» испытания, имеет В. р. В. непоявления этого события, 1 — р, обозначим через Положим, что такое испытание повторится s раз, и при этом так, что исход одного испытания не влияет на последующие; В. того, что при этих s испытаниях успех будет иметь место т раз, обозначим через у8, т. Вычисление, основанное на основных теоремах исчисления В-стей, обнаруживает, что Теперь обозначим через х отклонение числа т от произведения sp'. т = sp + х.
Можно показать, что величина у стремится к величине
где с1—2 spq. В. же того, что величина отклонения х не выходит из пределов ±тс, стремится к интегралу:
Этим же интегралом выражается и В. того, что относительное число успешных результатов испытаний — частость успеха — не выходит из пределов р + * — . Величина приведенного выше интеграла равна 1 при бесконечно большом г, но она оказывается достаточно близкой к 1 уже при сравнительно небольших значениях г; напр., при г = 2, 33 этот интеграл равен 0, 999, т. е. близок к 1. ‘ Т. о., с В., равной 0, 999, можно утверждать, что частость успешного результата при s испытаниях не выйдет из пределов р± 2, 33 ^-=jp± 2, 33 У=р±3, ЗуГ
Найденные пределы отклонений частости в ту и другую сторону от величины р можно сделать сколь угодно малыми путем подбора достаточно большого s. Напр., при р = 0, 2 (q = 0, 8) и s = 1.000.000 пределы отклонений выразятся так: 3, з/^ = з. з/ t°0’02^ = 0, 00132.
Т. о., в данном случае с В., равной 0, 999, можно утверждать, что частость успешного результата не отклонится от значения 0, 2 больше, Чем на 0, 00132 и будет, следовательно, заключаться в пределах 0, 19868—0, 20132.
Для примера предположим, что из урны, содержащей а белых и Ъ черных шаров, вынимается наудачу шар; если за успех испытания будем считать появление белого шара, то р = ~, где ($ = » + &), есть общеечисло шаров в урне. После каждого испытания вынутый шар вновь опускается в урну, так что испытание повторяется с той же вероятностью успеха.
Если мы не будем возвращать вынутые шары в урну, то это повлечет за собой изменение величины р.
Однако, и для этого случая можно определить пределы отклонений частости — от величины р. Оказывается, что все приведенные выше формулы сохраняют здесь свое значение, за исключением величины с, для к-рой вместо формулы с2 = 2 spq приходится брать такую: с2 = 2 spq, где s — число вынутых шаров, а 8 — общее число шаров в урне.
Если же шары извлекаются не из одной урны, а из ряда урн, для к-рых величина р неодинакова (принимает ряд значений р15 р2,.. . рп), то результаты опыта получатся аналогичные тем, которые получились в схеме с неизменным р; разница здесь будет лишь в том, что вместо постоянного р придется взять среднее арифметическое:
„
т
Р° » “ (Р1 + р2 + Рз +... + р,?).
Т. о., для величины с2 получится выражение: 2 с2 =-n-(PiQi+PaQ2 + ...+PnQn), где q^l-plt g2»=l-p2, • • • О. п — 1 ~Рп (теорема Пуасона).
Закон больших чисел (см. также Больших чисел закон в статистике) есть непосредственный вывод из теоремы Бернулли. Положим, что население данной страны состоит из s индивидуумов, для каждого из которых В. какого-нибудь события — положим, смерти — в течение года равна р.
Тогда ежегодное число смертных случаев будет колебаться около значения sp. Пределы возможных колебаний, которых можно ждать с В., равной, напр., 0, 999, исчисляются по формуле: sp ± 3, 3 V spq (см. выше).
Напр., при s = 1.000.000, р = 0, 01 (q = 0, 99) пределы колебаний числа ежегодных смертных случаев выражаются формулой: 10.000 ± 3, 31/1—000.000. 0, 01. 0, 99=10.000 ± 328, т. е. число ежегодных смертных случаев не выйдет из пределов 9.672—10.328. Т. о., с большой В. — близкой к уверенности — можно утверждать, что при миллионном населении число смертных случаев не должно сильно колебаться. Значит, это число' будет обнаруживать устойчивость. Устойчивость такого рода наблюдается с нек-рым приближением во многих статистических данных, относящихся к очень большим и однородным массам.
Закон ошибок. Теория В. применяется для учета и элиминирования случайных ошибок, возникающих при измерениях в физике, геодезии, астрономии и т. п. Гаус и Лаплас установили так называемый нормальный закон распределения ошибок, выражающийся таким же уравнением, какое было указано выше:
где у есть В. ошибки х, а с имеет указанное выше значение. Этот «закон ошибок» выводится, исходя из определенных предположений о характере ошибок. Приведем некоторые из них: 1) среднее арифметическое результатов ряда измерений есть наивероятнейшее значение измеряемой величины, а В. возникновения ошибки есть непрерывная функция размера этой ошибки;
