координатному определению (10), устанавливает инвариантность последнего. — В электростатическом поле циркуляция по любой кривой равна нулю; это поле — потенциальное.
Такое поле не вызывает магнитных сил, магнитный В. равен нулю или остается постоянным во времени, если он был посторонними причинами вызван в этом поле раньше. Это можно формулировать так: в электростатическом поле производная магнитен ного напряжения — тт — обращается в нуль вмеиь сте с вихрем электрического поля. В переменном поле как вихрь, так и упомянутые производные, вообще говоря, отличны от нуля. Простейшее соотношение, при котором имеет место такое соответствие, заключается в том, что производная магнитного напряжения пропорциональна вихрю электрического поля: dH 7 л
- =/с curl Е.
dt Это есть векторное выражение первой группы уравнений Максуэлла, который, впрочем, установил и значение коэффициента пропорциональности аналогично, вторая группа уравнений выражает производную электрического напряжения через вихрь магнитного поля.
Существенно валено отметить, что как теорема Гаусса-Остроградского, так и теорема Стокса остаются справедливыми только в непрерывном В-ном поле. Появление критических точек их нарушает; в очень обширном числе случаев (конечного разрыва в изолированных точках, вдоль линии или поверхности) наиболее часто встречающихся на практике, обе теоремы могут быть восстановлены путем приспособления к этим случаям понятия о дивергенции и вихре.
Это приводит к поверхностной, линейной или изолированной дивергенции — поверхностному, линейному или изолированному вихрю. Любопытный случай представляет постоянный электрический ток, идущий по какой-либо линии. В магнитном поле этого тока циркуляция равняется всегда нулю, если контур интегрирования не охватывает тока; но если контур охватывает ток, то циркуляция отлична от нуля, линия тока сосредоточивает на себе, в этом случае, все вихри магнитного поля.
IV. Значение векторного исчисления.
Из предыдущего изложения ясно, что В-ный анализ не только распространяет на векторы основы классического анализа, но вводит целый ряд новых операторов дифференциального характера, чрезвычайно приспособляющих аппарат В-ного исчисления к запросам механики и теоретич. физики.
В своем развитии В-ный анализ дает формулы для комбинированного производства соответствующих этим операторам действий (например, вихря от вихря, дивергенция градиента и обратно и т. д.); созданный, т. о., алгорифм упрощает изложение и разработку современной теоретической физики в такой мере, что в настоящее время работы по этим дисциплинам никогда не излагаются иначе, как в векторном исчислении.Вслед за анализом, естественно, должна была появиться и общая теория В-ных функций; в этом направлении, действительно, широко работали Бурали-Форти и Марколонго. Достаточное развитие, однако, получила только теория линейных В-нык функций (см. Линейные вектор-функции), находящих себе широкое применение почти во всех отделах теоретической физики, в особенности, в теории упругости и в электрооптике.
При всем разнообразии материала и методов, две основные идеи, регулирующие и направляющие развитие В-ного исчисления, имеют основное значение. Во-первых, — каждое В-ное соотношение в трехмерном пространстве заменяет 3 соотношения классического анализа. Во-вторых, — классический анализ, оперируя координатами, не отличает непосредственно тех соотношений, которые характеризуют действительно физический процесс, от зависимостей кроющихся в специальной координации. Построенное непосредственно геометрическими методами, векторное исчисление оперирует над величинами, не зависящими от системы координат; в этой инвариантности главный источник силы В-ного исчисления, его приспособленности к запросам прикладных дисциплин.
Многие «вёкторникп» — энтузиасты поэтому настойчиво требуют полного изгнания координат из В-ного исчисления (Скаутен, Стрюик,*даже Бурали-Форти). По обыкновению, однако, эти стремления бьют дальше цели; они связаны с таким развитием символических методов, усвоение к-рых очень затрудняет их применение. Проблемы прикладного знания настолько трудны, что лишь совместное применение всех орудий математического аппарата дает возможность шаг за шагом с ними справляться. Более того, при развертывании В-ных операций в координатах возник вопрос о таких их выражениях, к-рые оставались бы инвариантными не только при преобразовании ортогональных декартовых координат, но и при переходе от любой координации к другой. Решение этой задачи вывело В-ное исчисление на путь чрезвычайно широкого обобщения: оно привело к новому исчислению, в к-ром В-ное исчисле^ ние является только простейшим первым этапом, именно — к тензорному анализу (см.).
Лит.: А) Сочинения, наметившие основные идеи В. и.: J. R. А г g a n d, Essai sur une manure de representer les quantity imaginaires dans les constructions g6om6triques, P., 1806, 2 изд. c предисловием Гуеля (Ноиё1), P., 1874; C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda, Getting. gelehrte Anzeigen, 1832 (Gauss’ Werke, Band II, S. 174); A. F. MObius, Der baryzentrische Kalkul, Lpz., 1827 (Gesamte Werke, Band I); G. В e 1 1 a v i t i s, Metodo delle equipollenze, Padova, 1837 (франц. nep.: Exposition de la methode des equipollences, traduit par C. A. Laisant, P., 1874); H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre, vollstandig und in strenger Form bearbeitet, B., 1862 (Gesamte Werke, Band I, Teil 2); W. H a m i 11 о n, Lectures on Quaternions, Dublin, 1853. — В) Классическое изложение В. и.: W. Hamilton, Elements of Quaternions, vis I — II, Dublin, 1866, 2 изд. 1899—1901; J. W. Gibbs, Vector — Analysis (изд. по лекциям, читанным в 1881—84, его учеником В. Вильсоном в 1902 и в переработанном виде — в 1913); A. Fбрр 1 und М. Abraham, Einfuhrung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizitat, Band I, Abschn. I: Vektoren und Vektorfelder, Lpz., 1894 (неоднократно переиздавалось); С. В u г a 1 i-F о r t i et R. Maгсо 1 о n g o, Analyse vectorielle g£n6rale, v. I, P., 1912. — С) Основные современные руководства: J. Spielrein, Lehrbuch der
